【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 ：第2篇 第11节 导(2)

(2)当a=1时,易知函数f(x)在[1,e]上为增函数, ∴f(x)min=f(1)=,f(x)max=f(e)=e2+1. (3)证明:设F(x)=f(x)-g(x)=x2+ln x-x3, 则F'(x)=x+-2x2=当x>1时,F'(x)<0,

故F(x)在区间[1,+∞)上是减函数,又F(1)=-<0, ∴在区间[1,+∞)上,F(x)<0恒成立. 即f(x)<g(x)恒成立.

因此,当a=1时,在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方.

4.(2013石家庄二模)已知函数f(x)=ln x-. (1)若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性; (2)若f(x)在[1,e]上的最小值为,求a的值; (3)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围. 解:(1)由题意知f(x)的定义域为(0,+∞), 且f'(x)=

+

=

.

,

∵a>0,∴f'(x)>0,

故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.

【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 ：第2篇 第11节 导数的简单应用]

(2)由(1)可知

,f'(x)=.

①若a≥-1,则x+a≥0,即f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为增函数,

∴f(x)min=f(1)=-a=,∴a=-(舍去).

②若a≤-e,则x+a≤0,即f'(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为减函数,

∴f(x)min=f(e)=1-

=,∴a=-(舍去). ③若-e<a<-1,令f'(x)=0得x=-a,

当1<x<-a时,f'(x)<0,∴f(x)在(1,-a)上为减函数, 当-a<x<e时,f'(x)>0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数, ∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=,∴a=-. 综上所述,a=-.

(3)∵f(x)<x2,∴ln x-<x2. 又x>0,∴a>xln x-x3.

令g(x)=xln x-x3,h(x)=g'(x)=1+ln x-3x2,h'(x)=-6x=∵x∈(1,+∞)时,h'(x)<0, ∴h(x)在(1,+∞)上是减函数. ∴h(x)<h(1)=-2<0,即g'(x)<0, ∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数.

.

【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 ：第2篇 第11节 导数的简单应用]

g(x)<g(1)=-1,

∴当a≥-1时,f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立. 5.(2012年高考安徽卷)设函数f(x)=aex++b(a>0). (1)求f(x)在[0,+∞)内的最小值;

(2)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=x,求a,b的值. 解:(1)f'(x)=aex-, 当f'(x)>0,即x>-ln a时, f(x)在(-ln a,+∞)上递增; 当f'(x)<0,即x<-ln a时, f(x)在(-∞,-ln a)上递减. ①当0<a<1时,-ln a>0, f(x)在(0,-ln a)上递减,

在(-ln a,+∞)上递增,从而f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(-ln a)=2+b;

②当a≥1时,-ln a≤0,f(x)在[0,+∞)上递增, 从而f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(0)=a++b. (2)依题意f'(2)=ae2-

=, 解得ae2=2或ae2=-(舍去),

所以a=,代入原函数可得2++b=3,即b=,故a=,b=.

【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 ：第2篇 第11节 导数的简单应用]

6.(2013年高考福建卷)已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数).

(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值; (2)求函数f(x)的极值;

(3)当a=1时,若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,求k的最大值.

解:(1)由

f(x)=x-1+, 得f'(x)=1-.

又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴, 得f'(1)=0,即1-=0, 解得a=e. (2)f'(x)=1-,

①当a≤0时,f'(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数, 所以函数f(x)无极值.

②当a>0时,令f'(x)=0,得ex=a,x=ln a. x∈(-∞,ln a),f'(x)<0; x∈(ln a,+∞),f'(x)>0,

所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减, 在(ln a,+∞)上单调递增, 故f(x)在x=ln a处取得极小值,

【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 ：第2篇 第11节 导数的简单应用]

且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值. 综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;

当a>0时,f(x)在x=ln a处取得极小值ln a,无极大值. (3)当a=1时,f(x)=x-1+, 令g(x)=f(x)-(kx-1)=(1-k)x+,

则直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点, 等价于方程g(x)=0在R上无实数解. 假设k>1,此时g(0)=1>0,

g

=-1+

<0,

又函数g(x)的图象连续不断,由零点存在性定理,

可知g(x)=0在R上至少有一解,这与“方程g(x)=0在R上没有实数解”矛盾,故k≤1. 又k=1时,g(x)=>0,

所以方程g(x)=0在R上没有实数解. 因此k的最大值为1.