【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 ：第2篇 第11节 导

【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 ：第2篇 第11节 导数的简单应用]

第11节 导数的简单应用

【选题明细表】

一、选择题

1.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数a的取值范围是( B ) (A)(-∞,-]∪[,+∞) (B)[-,]

(C)(-∞,-)∪(,+∞) (D)(-,)

解析:f'(x)=-3x2+2ax-1,依题意f'(x)≤0,在(-∞,+∞)恒成立,故Δ=4a2-12≤0,解得-≤a≤,故选B.

2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)等于( C )

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(A)11或18 (B)11 (C)18 (D)17或18

解析:∵函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10, ∴f(1)=10,且f'(1)=0, 即 解得或

而当

时,函数在x=1处无极值,故舍去.

∴f(x)=x3+4x2-11x+16, ∴f(2)=18.故选C.

3.函数f(x)=x+2cos x在

0,上取得最大值时x的值为( (A)0 (B) (C) (D) 解析:由于f'(x)=1-2sin x, 令f'(x)=0得

,sin x=, 又x∈

0,, 所以x=. 且

f

=

+, 又

f(0)=2,f=,

B )

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所以

f为最大值. 故选B.

4.(2013济宁模拟)若函数h(x)=2x-+在(1,+∞)上是增函数,则实数k的取值范围是( A ) (A)[-2,+∞) (B)[2,+∞) (C)(-∞,-2] (D)(-∞,2] 解析:因为

h'(x)=2+, 若h(x)在(1,+∞)上是增函数, 则h'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立, 故

2+≥0恒成立, 即k≥-2x2恒成立. 又x>1, ∴-2x2<-2,

因此,需k≥-2,故选A.

5.(2012年高考大纲全国卷)已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c等于( A ) (A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1 解析:∵y'=3(x+1)(x-1), ∴当x=-1或x=1时取得极值,

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由题意得f(1)=0或f(-1)=0, 即c-2=0或c+2=0, 解得c=2或c=-2.故选A. 6.若函数f(x)=( D )

(A) (B) (C)+1 (D)-1 解析:f'(x)=

=

,

(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为

当

x>时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 当

-<x<时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当

x=时,

令f(x)=

=

,

=<1,不合题意. ∴f(x)max=f(1)=

a=-1,故选D. 二、填空题

7.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为 . 解析:∵f'(x)=6x2-12x=6x(x-2),

∴f(x)在(-2,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减, 因此,当x=0时,f(x)取得最大值, 即f(0)=m=3,

=,

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然而f(-2)=-37,f(2)=-5, 因此f(x)min=f(-2)=-37. 答案:-37

8.已知函数f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数,函数

g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)内单调递减,则实数m= . 解析:由已知得,m2-4=0, ∴m=±2.

若g(x)在(-∞,+∞)内单调递减, 则g'(x)≤0恒成立, 即-3x2+4x+m≤0恒成立, 亦即3x2-4x-m≥0恒成立. ∴Δ=16+12m≤0, 解得m≤-, 故m=-2. 答案:-2

9.函数f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值,则a的取值范围是 .

解析:∵f'(x)=3x2+6ax+3(a+2), 令f'(x)=0得,x2+2ax+a+2=0, 若f(x)有极大值和极小值,

则方程x2+2ax+a+2=0有两个不等实数根, ∴Δ=4a2-4(a+2)>0.

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解得a>2或a<-1. 答案:(-∞,-1)∪(2,+∞)

10.做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为 . 解析:设圆柱底面半径为R,高为h, 则V=πR2h,

则总造价y=2πR2a+2πRhb =2πR2a+2πRb· =2πaR2+, 故y'=4πaR-, 令y'=0得

=. 故当

=时y取最小值. 答案

:

11.设函数f(x)=ax3-3x+1(a∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为 . 解析:由题意得f'(x)=3ax2-3,

当a≤1时,在[-1,1]上恒有f'(x)=3ax2-3≤0, ∴f(x)在[-1,1]上为减函数,

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∴f(x)最小值=f(1)=a-2≥0,

解之得a≥2(与条件a≤1矛盾),不符合题意; 当a>1时,令f'(x)=0可得x=±, 当x∈当x∈

时,f'(x)<0,f(x)为减函数; ,x∈

时,

f'(x)>0,f(x)为增函数.

∴x=±为极值点,要使f(x)≥0成立,

只需

即

∴a=4. 答案:4 三、解答题

12.(2013浙江五校联考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(x∈[-1,2]),且函数f(x)在x=1和x=-处都取得极值. (1)求a,b的值;

(2)求函数f(x)的单调递增区间.

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解:(1)由于f'(x)=3x2+2ax+b, 依题意知,f'(1)=0且

f'

-=0, 所以解得

(2)由(1)知,f(x)=x3

-x2-2x+c, f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1). f'(x)>0得,x>1或x<-. 又x∈[-1,2],

所以f(x)的单调增区间为

-1,-,(1,2].

13.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元

.

(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的r. 解:(1)设容器的容积为V,

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由题意知V=又

V=, ∴

+πr2l,

+πr2

l=,

.

∴

l=

-=

由l≥2r,得r≤2, ∴0<r≤2,

所以建造费用y=2πrl×3+4πr2c =2πr×∴

y=

×3+4πr2c,

-8πr2+4πcr2(0<r≤2).

-16πr+8πcr

(2)由(1)得y'=-=(cr3-2r3-20)

=①当0<

(0<r≤2). <2,即

c>时,

.

时,y'<0,函数单调递减, 时,y'>0,函数单调递增.

令y'=0,∴r=∴当r∈当r∈

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∴

r=②当

是函数的极小值点,也是最小值点. ≥2,即3<c≤时,

当r∈(0,2)时,y'<0,函数单调递减, ∴r=2是函数的最小值点.

综上所述,当3<c≤时,容器的建造费用最小时r=2; 当

c>时,容器的建造费用最小时r=14.设函数f(x)=a2ln x-x2+ax,a>0. (1)求f(x)的单调区间;

(2)求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.(注:e为自然对数的底数)

解:(1)因为f(x)=a2ln x-x2+ax,其中x>0, 所以f'(x)=

-2x+a=-由于a>0,

所以f(x)的单调增区间为(0,a),单调减区间为(a,+∞). (2)由题意得f(1)=a-1≥e-1 …… 此处隐藏：3715字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……