运筹学问题的Excel建模及求解(3)

首先定义cj的允许增加（减少）百分比为cj的增加量（减少量）除以cj的允许增加量（允许减少量）的值.这样我们可以计算出c1的允许减少百分比为

(200 180)/50 40%，c2的允许增加百分比为(355 300)/100 55%，c2 的允许减少百分比与c2的允许增加百分比之和为40% 55% 95%.

目标函数系数同时变动的百分之百法则：如果目标函数的系数同时变动，当其所有允许增加百分比和允许减少百分比之和不超过百分之百时，最优解不会改变，如果超过百分之百，则不能确定最优解是否改变.

因为本例中c1 的允许减少百

分比与c2的允许增加百分比之和

为95%不超过100%，所以当每公

斤药品Ⅰ的利润减少为180元，

每

图 13-15

运筹学问题的Excel建模及求解

公斤药品Ⅱ的利润增加为355元时，此线性规划最优解仍然为药品Ⅰ生产4公斤和药品Ⅱ生产2公斤（即x1 4,x2 2），此时有最大利润为

180 4 355 2 720 710 1430（元），如图13-15所示.

这一法则并没有表示出，在变动百分比之和超过百分之百的情况下，可能的结果.这一结果还有赖于系数变动的方向.但是，只要变动百分比之和不超过百分之百，最优解是肯定不会改变的.记住，我们可以让单一的目标函数系数在整个允许范围内变动，但这只有在其他目标函数系数都不变的情况下才有效.如果多个系数同时变动，我们必须研究各个系数的变动百分比.

二、约束右端值的灵敏度分析

之所以要分析函数约束右端值变动的原因与前面一样，因为在建模时，还不能得到模型的这些参数的精确值，只能对其作粗略的估计.因此，我们希望知道在这些估计不准确的情况下会产生怎样的后果.除此之外一个更主要的理由是因为，这些常数（通常代表资源的可用量）往往不是由外界决定的而是管理层的政策决策.因此管理者希望知道如果改变这些决策是否会提高最终的收益.影子价格分析就是为管理者提供这方面的信息.

下面是关于例2-1的第三个问题：

问题3：如果改变该厂某设备可用于生产的时间，结果将如何？

（一）约束右端值的影子价格分析

回忆第二章中关于影子价格的经济含义，我们知道影子价格代表单位资源在最优利用的条件下所产生的经济效果.即在模型获得最优解的情况下，约束条件右端值在一定范围内每增加（减少）一个单位，使目标函数值增加（减少）的量.其中，一定范围是指保持影子价格不变的右端值变化范围.

在影子价格分析中，每次分析一个函数约束，可以将该函数约束右端值的常数增加一个单位后重新求解，观察目标函数值增加的量来确定影子价格，也可以利用灵敏度报告中提供的关于每一个函数约束的影子价格数据.

从一个约束的影子价格中就可以直接看出，决策改变而引起的约束常数的改变所造成的影响.只要约束常数的变动不大，那么目标函数值的变动就等于约束常数的变动（正或负）乘以影子价格.为了说明影子价格的含义，我们以第二

运筹学问题的Excel建模及求解

章第五节中的第

二个应用，即放射

科的业务安排问

题为例来加以讨

论.该问题最初的

线性规划模型如

图13-16上半部分

所示.单元格H6

及C9至E9中的

值1800，300，120，

120分别表示总业图 13-16

务提供量以及三种设备的可用时间的限制.可变单元格C6至E6中的最优解表明放射科每月安排1320人次的X线检查和480次的CT检查.目标单元格F10显示如此安排后每月的总利润为55200元.

得到这些信息后，科室的领导可能希望知道增加一单位资源的可用量对总利润的影响，即影子价格.首先从业务提供量H6开始分析，图13-16的下半部分表示了放射科可以提供的业务量由1800增至1801时，对结果的影响.将图13-16上下两表中的目标单元格H10进行对比，可看出利润的增加量为：

利润的变化量 = 55220元-55200元 = 20元

从而计算出业务提供量的影子价格为20元/每人次，即增加1人次的业务提供量对总利润的贡献是20元.

用上述方法计算影子价格简单明了，但需要对每个约束进行试算，且有时可能得到错误的结果（后面将讨论）.此外，我们还可以采用“规划求解”结果给出的敏感性报告直接得到各个约束的影子价格.图13-17显示了灵敏度分析中与函数约束有关的部分，其中的第四栏给出了各约束的影子价格.结果如下：

业务提供量的影子价格 = 20元/人次

X线检查的影子价格 = 0 元/小时

CT检查的影子价格 = 160元/小时

磁共振检查的影子价格 = 0元/小时

运筹学问题的Excel建模及求解

图 13-17

这些影子价格都是资源增加一个单位引起的总利润的增加量.为什么X线检查的影子价格为0？可以通过比较图13-16上表中C7和C9来说明.X线检查设备的可用时间有300小时，而按最优解的业务量使用该设备的时间仅为132小时，已有168小时的闲置.因此，即使再增加设备的可用时间也不会改变最优解和总利润，同样可以解释磁共振检查的影子价格也为0的原因.

（二）影子价格的灵敏度分析

图13-7的第六、七栏给出了每一约束限制值在什么范围内变化时，该约束的影子价格是不变的.这一范围称为影子价格的有效区域，可以看出：

业务提供量的影子价格的有效区域的上限为：1800+1680=3480，下限为：1800-1320=480，其有效区域为：480 b1 3480，即当业务提供量在此范围内

变化时，每增加（减少）一人次，总利润也会相应地增加（减少）20元；类似可得X线使用时间、CT使用时间以及磁共振使用时间的影子价格有效区域分别

120 120 0 b3 120 330 450，b4 120 120 0. 为：b2 300 168 132，

我们再来看第二章的例2-1，该

问题最初的线性规划模型如图

13-8所示.G栏中的常数（12，8，

16，12）表示四种设备可用的台时

数.当我们将设备B的可用时间从8

小时增加到9小时时，我们发现总图 13-18

利润增加了100元（从1400元增加到了1500元），如图13-18所示.但100元并不是设备B可用时间的影子价格.

图13-16显示了其敏感性报告的第二部分.终值栏给出了输出单元格E5至E8的终值分别为12，8，16，8（如图13-8的E栏所示）；约束限制值一栏即表13-8中G5至G8中的常数.从阴影价格一栏中可以看出，设备B

可用时间的影子

运筹学问题的Excel建模及求解

价格为150元.通过分析其影子价格的有效区域可知，可用时间在4—8小时之间时，每增加（减少）一个小时的可用时间，总利润会相应增加（减少）150元.但由于设备B的可用时间

正好为8小时，所以再继续

增加1个小时的可用时间

后，约束限制值已经超过了

影子价格的有效区域，故总图 13-19

利润的增加值只有100元而不是150元.从图13-9中还可以看出，设备A和设备D的影子价格均为0，设备C的影子价格为12.5元，有效区域分别为：b1 12，8 b3 16，b4 8.

（三）约束右端值同时变动的情况

函数约束右端值的有效区域表示的是，约束右端值的变动在有效区域内时，该约束的影子价格就可用于评估约束右端值改变造成的影响.但必须注意的是，只有在仅一个约束右端值变动而其他约束右端值均不变的情况下，该约束右端值的有效区域才是完全有效的.而实际上，由于管理层在约束右端值上的决策往往是相关的，因此约束右端值经常会同时变动，如果多个约束右端值同时变动，那么如何评估可能造成的影响呢 …… 此处隐藏：2941字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……