安徽大学2013—2014学年第二学期《应用随机过程》A卷及其参考答(2)

E IX z E XnIX z P X1 z P Xn 1 z E XnI Xn z E I n X1 z n 1

1

z

xdx 1 z

n 1

1 z 1 z ；

2

g Z dP积分变换定理

z

n

g Z dP

A

Z 1 z, z,

g z dPZ 这里，PZ 为Z的概率分布

=

z,

g z fZ z dz g z fZ z dz；从而， z 0,1 ，

1 z 1 z

2

n

zn 1

g z fZ z dz；两边关于z求导即有：

n 1 z 1 z n 1 z n 1 ；从而，n 1

g z n 1 z ，g z

2n22

n 1 Z n 1 E XnZ g Z ,a.s.。同理可求出

2n

1 z

n

E XnY EXn Y

。

n

由条件期望的直观方法，给定Y y 0,1 时，Xn以概率1取值为y，以1 1的概率均匀取值于 0,y ；从而，E XnY y 1 y

n

n

n 1 1 yn 1 X Y 1 y；即有：E XnY E n 2nY,a.s.。 n22n

4、由条件数学期望的定义，

1 12 2

E X E X0 X I EX X I EX X 1 2 3 I 1 12 2

0 X X X 1 23 23 2 3

，这里，

E XI

1 0 X 1 2 E X0 X

2 1 P 0 X

2

E XI 12

X 12 3 2 E X X

3 12 2P X

3 2

1

0 X

2

120

XdP

1 0, 2

xdPX

1 0, 2

xfX x dx4

1dx

2

12

2 1

X 23

2312

XdP

12 2,3

xdPX

12

2,3

xfX x dx6

1dx

6

712

E XI 2

X 1 2 5 3 ，E X Y 1 。

6 3 P 2 X 1

3

5、（1）记Xi M ti M ti 1 即有： M ti M ti 1

i 1

n

2

n

2

2

M ti M ti 1 ti ti 1 ,i 1,2,

n

,n，

M b M a b a Xi；欲证

i 1

n 2

，只须证：Mt MtL b a Mb Ma EX ii 1 i

i 1 i 1

n

n

注意到，E Xi EXi2 2 E XiXj

i 11 i j n i 1

n

n

2 0

n

0。

2

2 2 ti ti 1

i 12

n

2

2

1 i j n

E X E X

i

j

2 ti ti 1 0 2

2

i 1

2

2

t t

i

i 1

i 1

2 b a n

2

n 0

，得证！

（2）（i）由全概率公式，P W t a

PW t aM t aP M t a PW t aM t aP M t a

2

；易

见，P W t aM t a 0，P W t aM t a 1（由对称性）；从而，P M t a 2P W t a 。（ii） x 0，

P x P M x a 2P W x a 2 1 ；令 ～f x ，

即有：

3

2

3

d 1 2 /f x P

x 2 2 a x dx 2

2

/

t2 ax。 ，这里，

t

6、（1）令f x lnx，f/ x 1，f// x

x1

x2

，由Ito-Doeblin公

式，

d lnS t

21111212

dS t dSt dt dWt dt dt dW t St2S2t 22

t12

；两边同时积分，即有： 0d lnS u 0 2 du 0 dW u

12

，即：lnS t lnS 0 t W t ，也即：

2

t

t

S t S 0 e

12

dt dW t 2

。

令f x xn，f/ x nxn 1，f// x n n 1 xn 2，由Ito-Doeblin公式，

211nn 1n 2n 1n 2

d Wt nWtdWt nn 1WtdWt nWtdWt nn 1W t dt 22

，积分后有Wn t 0nWn 1 u dW u 1n n 1 0Wn 2 u du；两边取

t

t

2

1 1nn 2n 2

期望后有E Wt Enn 1Wudu nn 1EW 0 0 u du

t

t

2

2

（Ito积分是鞅，期望为零）； tt

42 E W t 6 E W u du 6 udu 3t2， 00

6423

。 E Wt 15EWudu 153udu 15t 0 0

t

t

(2)由 Ito—Doeblin公式：设f C2，则有：

/

df W t f W t d W t

1//

f W t d W t 2

2

1//

f/ WtdWt 2f W t dt或

/

f W t f W 0 0

t

1t//f W u d W u 2 0f W u du。这里，

f x eux，f/ x ueux，f// x u2eux，由Ito—Doeblin公式， 12uW t uW t ueuW t d d eWt dt，也即： 2ue

t12tuW u

euW t 1 u euW u d Wu du，两边同时取期望，即有： 2u 0e0

tuW t 1 1u2 m u du（Ito积分是鞅，期望为零）m t E e，积分 02

方程两边关于t求导，即有微分方程：

dm t 12ut

um t uW t e2。 e，解得：m t E 2 dt

m 0 1

2

四、 应用分析题

设有欧式未定权益V t,S t ，由风险中性定价公式，

r T t V t,S t E eV T,S T Ft （这里， Ft,0 t T 为标准

Brown

运动生成的域流，即：Ft W s ,0 s t ，E 概率测度P下的条件数学期望）；从而，

C t,S t Ee

Ft 为风险中性

r T t

S T K Ft

r T t

，Pt,St Ee K S T

Ft

；

C t,S t P t,S t Ee

r T t

S T K K S T

F E e

t

r T t

S T K Ft

；由S t 所遵循的随机微分方程可解出

1 1

S t S 0 exp W t 2 t S 0 exp W t r 2 t ；于是，

2 2

r 2 12 2 r T t S

t e，这里，

S T S t exp WT Wt 2

WT WtP

T t是“离到期日尚余时间”；因此，S T Y N 0,12 ，

是Ft－可测随机变量S

t 与独立于Ft的随机变量

1

e

1

r 2

2

的乘积，故有，C t,S t P t,S t E e r T t S T K

Ft

r 2

2

1

r T t E e S

t e

e

r T t

r T t

K Ft e S t E e

r T t

r 2

2

1

Ft K

S t e

1

r 2 2

Ee

Ke

S t K，得证！