安徽大学2013—2014学年第二学期《应用随机过程》A卷及其参考答

安徽大学2013—2014学年第二学期 《 应用随机过程 》考试试卷（A卷）

（闭卷 时间120分钟）

院/系 年级 __专业 姓名 学号

一、填空题（每小题4分，共16分）

1、设X是概率空间

,F,P 上的一个随机变量，且EX存在，C是F的

子 －域，定义E XC 如下：（1）____________________________； （2） ___________________________________________________； 2、设 N t ,t 0 是强度为 的Poisson过程，则N t 具有________、 ________增量，且 t 0，h 0充分小，有：P N t h N t 0 ＝ ________，P N t h N t 1 ＝_____________；

3、设 W t ,t 0 为一维标准Brown运动，则 t 0，W t ～_______，

且与Brown运动有关的三个随机过程_______________、_________ ___________、___________________________都是鞅（过程）；

4、倒向随机微分方程（BSDE）典型的数学结构为_______________ ______________________________，其处理问题的实质在于________ __________________________________________________________。

二、证明分析题（共10分，选做一题）

（1）设X是定义于概率空间 ,F,P 上的非负随机变量，并且具有指数分布，即：P X x 1 e x，x 0，其中 是正常数。设是另一

X

个正常数，定义：Z e ，由下式定义：P A AZdP， A F；

（i）P 1；（ii）在概率测度PP X x ，x 0；（2）设 W t ,t 0 是P下的标准Brown运动，试分别由鞅的定义及Ito-Doeblin（伊藤—德布林）公式证明：（过程）， X t ,t 0 是鞅这里，X t W3 t 3tW t 。

三、计算证明题（共64分） 1、（12分，选做一题）（1）设X～E ，Y～E ，且X,Y相互独 立，①试证：在X Y时，随机变量min X,Y ,X Y是相互独立的；②利用①，对于任意的正常数c，有：

1E minX,YX Y c E minX,YX Y EminX,Y ；

1

,0 y x 1;

（2）①设 X,Y ～f x,y ，试求fYX yx 及 x

0,其它；

P X2 Y2 1X x ，并由此（连续型全概率公式）求P

2

观定义求E YX ，E Y X X ；

X

2

Y2 1 ；

②设随机向量 X,Y ～U D ，D:0 y x 1，试由条件数学期望的直

2、（12分）假设X～E ，给定c 0，试分别由指数分布的无记忆性、条件密度和E XA

E XIA

，求E X cX c ； PA 3、（12分）设X1,X2,,Xn独立同U 0,1 分布，Y max X1,X2,,Xn ， Z min X1,X2,,Xn ，试分别由条件数学期望的直观方法和条件数学期望的一般定义求E XnY E Xn Y 或E XnZ E Xn Z ；

4、（8分）设有概率空间 ,F,P 0,1 , 0,1 ,m ，其上随机变量

1 12 2

X～U 0,1 ， 0 X , X , X 1 ，试求E X ；

2 23 3

5、（10分，选做一题）（1）设 M t ,t 0 是对应于参数为 的Poisson过程 N t ,t 0 的补偿Poisson过程，试证： 0 a b ，

n t0,t1,

ni 1

,tn 是 a,b 的一个分划，当 n 0时，

2

2

（2）设 W t ,t 0 是标准 M ti M ti 1 L b a M b M a ；

a 0，W s ， min tW t a ；Brown运动，定义停时 ：令M t max

0 s t

t 0，则（i）P M t a 2P W t a

32

2

（ii）停时 的P.d.f.为： ；

t2f

x ax ； ，x 0，

t

6、（10分，选做一题）（1）设 W t ,t 0 为标准Brown运动，试由Ito-Doeblin公式求解随机微分方程d S t S t dt S t dW t ，并

46

WtEW求E ，（2）设 W t ,t 0 表示P下的一维标准Brown t ；运动，定义：Z t euW t ，试由Ito-Doeblin公式导出Z t 满足的随机微分方程（SDE），由此求出m t defE （ODE）， Z t 满足的常微分方程并通过求解其来证明：E e

四、应用分析题（共10分）

uW t

u2t exp 。

2

【看跌—看涨期权平价公式（Put-Call Parity）】设C t,S t ,P t,S t 分别表示时刻t的欧式看涨期权、欧式看跌期权（标的资产均是价格过程 S t ,0 t T 遵循几何布朗运动: dS t S t dt S t dW t 的股票）的价格，它们具有相同的到期日T和敲定价格K；假设无风险利率r是常数，且市场无套利，试利用风险中性定价公式证明： t 0,T ，C t,S t P t,S t S t Ke r T t 。

安徽大学2013—2014学年第二学期 《 应用随机过程 》A卷参考答案

一、 填空题 1、（1）E XC 为C-可测的； （2） A C， AXdP AE XC dP EXC dPC ； A 2、独立、平稳，1 h o h ， h o h ；

2t W t 1 23、N 0,t ， W t ,t 0 ， W t t,t 0 ， e,t 0 ；

X t ,Y t dt Y t dW t ,t 0,T ; dX t g 4、 ，倒向随机微分方

X T ;

2

程处理问题的实质在于：尽管现在时刻投资者无法预知将来

某时刻的收益（随机变量），但投资者仍可确切地计算出今天如何去做，才能达到将来时刻的不确定收益！ 二、证明分析题（选做一题）

X x

P ZdP edP edPX （1）（i PX X的概率分布 R

x

X～f x ef x dx e xdx 1； R 0

（ii） x 0， P X x X x ZdP X

1

X

edP

,x

x x x x x

edP efxdx edx 1 e； X ,x ,x 0

（2）由Ito-Doeblin公式，dX t dW3 t 3d tW t

2

3W2 t dW t 3W t dt 3 tdWt Wtdt 3W t t dW t

，只含波

动项，不含漂移项，由Ito积分是鞅，即有 X t ,t 0 是鞅！

3

另由鞅的定义， 0 s t，E X t Fs E tW t Fs W t Fs 3E

E W t W s Fs 3EW s W t W s Fs 4E W s Fs 3E W s W t Fs

3

2

3

2

3tE W t Fs X s ,a.s.，即有 X t ,t 0 是鞅！

三、 计算证明题 1、（1）① x,y 0，

P X Y x,X Y yX Y

P X Y x,X Y y,X Y

PX Y

P Y x,X Y y,X Y

P Y x,X Y y,X YY t fY t dt

x x y y

Pt X t yY t edt Pt X t y edt 0 0

1 e

y

x

； P X Y xX Y 1 e

P X Y x,X Y PX Y

x x y

P Y x,X Y PX tY t edt P X t e ydt 0 0

P X Y ,yX Y x

PX Y yX ， 1 e PX Y

PX Y y,X YY tftdt P t X t yY t fY t dt Y

y y

；即有：给定X Y时，X Y Pt X t y edt 1 e 0

与X Y是（条件）独立的；且：min X,Y dmin X,Y X Y～E ，

X YX Y～E ；

②由上述结论，E min X,Y E min X,Y X Y

E min X,Y X Y c

E min X,Y I X Y c PX Y c

1

。 c 0，

E min X,Y I X Y c I X Y

PX Y c …… 此处隐藏：2771字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……