课标全国卷数学高考模拟试题精编（十）(4)

依题意，抛物线的焦点F(1,0)，过点P作PN⊥l，垂足为N，过点P作准线x＝－1的垂线，垂足为M，交y轴于点E，则d1＋d2＝|PN|＋|PE|＝|PN|＋|PM|－1＝|PN|＋|PF|－1≥|FN|－1，当且仅当F，P，N三点共线时等号成立．由于点F到直线l的距离为32，所以d1＋d2的最小值为32－1. 答案：32－1

16．解析：由所给式子归纳可得a＝nn. 答案：nn

17．解：(1)f(x)＝3cos ωx＋3sin ωx π??

f(x)＝23sin?ωx＋3?

??

又△ABC为正三角形，且高为23，则BC＝4.所以函数f(x)的最小正周期为8，2π

即＝8， ωπω＝4

π??π

f(x)＝23sin?4x＋3?.

??

ππππ

(2)由2kπ－2≤4x＋3≤2kπ＋2，k∈Z， 解得：

102

8k－3≤x≤8k＋3，k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间为 102??

?8k－3，8k＋3?(k∈Z) ??

ππ4

由4x＋3＝kπ，k∈Z，得x＝4k－3，k∈Z 4??4k－所以对称中心为?k∈Z 3，0???

18．(理)解：

∵△ACD是正三角形，∴AC＝AD＝CD＝2，在△ABC中，∵AB＝1，AC＝2，BC＝5，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AB⊥AC，又AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD，又AB∥DE，∴DE⊥平面ACD.以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(0,0,2)，B(2,0,1)，C(1，3，0)．

?13?→?33?

(1)设F是线段CE的中点，则点F的坐标为?，，1?∴BF＝?－，，0?，显

?22??22?→与平面xDy平行，∴BF∥平面ACD.

然BF

→，且n⊥CE→，

(2)设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥CB→＝(1，－3，1)，CE→＝(－1，－3，2)， 由CB

?x－3y＋z＝0?x＝1→＝得?，不妨设y＝3，则?，即n＝(1，3，2)，易知DE

?z＝2?－x－3y＋2z＝0→

n·DE→

(0,0,2)是平面ACD的一个法向量，∴所求角θ满足cos θ＝cos〈n，DE〉＝

→||n|·|DE2π→

＝2，∴θ＝〈n，DE〉＝4. (3)由已知得G点坐标为(1,0,0)，

→＝(－1,0，－1)，由(2)知平面BCE的法向量为n＝(1，3，2)， ∴BG

→·?BG32n??＝∴所求距离d＝?.

4?|n|?

(文)解：(1)如图，取CE的中点为M，连接BM，MF，因为F为CD的中点，所1

以MF綊2ED，又AB∥DE，DE＝2AB，所以MF綊AB，四边形ABMF为平行四边形，所以BM∥AF，因为BM?平面BCE，AF?平面BCE，所以AF∥平面BCE. (2)因为△ACD是正三角形，所以AC＝AD＝CD＝2，在△ABC中，AB＝1，AC＝

2，BC＝5，

所以AB2＋AC2＝BC2，故AB⊥AC，又AB⊥AD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD，

取AD的中点H，连接CH，EH，则AB⊥CH，又AC＝CD，所以CH⊥AD，又AB∩AD＝A，所以CH⊥平面ABED，所以∠CEH是直线CE与平面ABED所成10

的角．在Rt△CHE中，CH＝3，EH＝5，CE＝22，所以cos∠CEH＝4. 11

(3)由(2)知，CH是四棱锥C－ABED的高，所以多面体ABCDE的体积VABCDE＝3×2×(1＋2)×2×3＝3.

19．(理)解：(1)由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数501为100，抽取的样本容量与总体个数的比值为100＝2.

∴应从A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5.

(2)设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生，这2名学生来自同一所中学”为事件M，

从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生的取法共有C250＝1 225种，

222这2名学生来自同一所中学的取法共有C215＋C20＋C10＋C5＝350种．

3502∴P(M)＝1 225＝7. 故从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生，这2名学生来自同一所中学2的概率为7.

(3)由(1)知，在参加问卷调查的50名学生中，来自A，C两所中学的学生人数分别为15,10.

依题意得，ξ的可能取值为0,1,2，

21C103C115C101

P(ξ＝0)＝C2＝20，P(ξ＝1)＝C2＝2，

2525

2C157

P(ξ＝2)＝C2＝20.

25

∴ξ的分布列为：

ξ P (文)解：

0 320 1 12 2 720

(1)其频率分布直方图如图．

该县微小企业所获资金支持的均值为0.15×0＋0.4×1＋0.3×3＋0.15×6＝2.2(百万元)．

(2)其收购模式共9种，A购a且B购a，A购a且B购b，A购a且B购c，A购b且B购a，A购b且B购b，A购b且B购c，A购c且B购a，A购c且B购b，A购c且B购c.

而A、B选择同一家的有3种，分别为A购a且B购a，A购b且B购b，A购c1且B购c，故A、B企业选择收购同一家的概率为3.

20．解：(1)由题意，可得2a＋2c＝6＋42，即a＋c＝3＋22，

又b＝1，所以b2＝a2－c2＝1，a－c＝3－22，解得a＝3，c＝22，所以椭圆Mx22

的方程为9＋y＝1. x＝my＋t，??

(2)由?x22

＋y＝1??9

消去x得(m2＋9)y2＋2mty＋t2－9＝0.

t2－92mt

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－2，yy＝.①

m＋912m2＋9→·→＝0.

因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C(3,0)，所以CACB→＝(x－3，y)，CB→＝(x－3，y)得(x－3)(x－3)＋yy＝0. 由CA11221212

将x1＝my1＋t，x2＝my2＋t代入上式，得(m2＋1)y1y2＋m(t－3)(y1＋y2)＋(t－3)2＝0，

12

将①代入上式，解得t＝5或t＝3. 21．解：(1)函数的定义域x＞0 1

f′(x)＝ln x＋x－1

111x－1

不妨令g(x)＝ln x＋x－1，g′(x)＝x－x2＝x2

x＞1，g′(x)＞0，函数g(x)＝f′(x)递增，又因为g(1)＝f′(1)＝0， 所以x＞1，f′(x)＞0，f(x)单增．

0＜x＜1，g′(x)＜0，g(x)＝f′(x)单减，f′(x)＞f′(1)＝0，函数f(x)单增 所以函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增

11111xe－e－x

(2)h(x)＝ln x＋x－1＋ex，h′(x)＝x－x2－ex＝

x2ex设φ(x)＝xex－ex－x2，φ′(x)＝xex－2x＝x(ex－2) x∈(0，ln 2)，φ′(x)＜0，φ(x)单减，φ(x)＜φ(0)＝－1＜0 h′(x)＜0，h(x)单减．

x∈(ln 2，＋∞)，φ′(x)＞0，φ(x)单增，φ(x)＞φ(ln 2)＝2ln 2－2－(ln 2)2 又φ(1)＝－1＜0，φ(2)＝e2－4＞0存在x0∈(1,2)，使得φ(x)＝0， 在(0，x0)上，φ(x)＜0，在(x0，＋∞)上，φ(x)＞0 h(x)在(0，x0)上递减，在(x0，＋∞)上递增 11

h(x)≥h(x0)＝ln x0＋x－1＋ex 00

1111121

又ex＝x－x2，所以h(x)≥h(x0)＝ln x0＋x－1＋ex＝ln x0＋x－x2－1

000000021不妨令M(x)＝ln x＋x－x2－1

21122??ln x＋－当x∈(1,2)时，M′(x)＝?2－1?′＝－2＋3 xxxxx??

22?1?1

M′(x)＝x?1－x＋x2?＞0，M(x)＞0是单增函数，又M(1)＝0，M(2)＝ln 2－4＜1

??21

1＞h(x0)＝ln x0＋x－x2－1＞0

0

0

x

x

2

所以k≤0，所以k的最大值为0.