河北省2013年中考数学试题（word解析版）(4)

26．（本小题满分14分）

一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′ 装有一些 液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α （∠CBE = α，如图17-1所示）．

探究 如图17-1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′ 交于 点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如 图17-2所示．解决问题：

（1）CQ与BE的位置关系是___________，BQ的长是____________dm； （2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液 = 底面积SBCQ×高AB）

（3）求α的度数.(注：sin49°＝cos41°＝4，tan37°＝4)

拓展 在图17-1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图17-3或图17-4是其正面示意图.若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC = x，BQ = y.分别就图17-3和图17-4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围.

[温馨提示：下页还有题！] 延伸 在图17-4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图17-5，隔板高NM = 1 dm，BM = CM，NM⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α = 60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm3.

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解析：

探究 （1）CQ∥BE 3 ························································································ 2分

1····································· 4分 ?3?4?4=24（dm3） ·

23 （3）在Rt△BCQ中，tan∠BCQ=

4 （2）V液=∴?=∠BCQ=37o ················ 6分 拓展 当容器向左旋转时，如图3,0o≤?≤37o ···· 7分 ∵液体体积不变，∴（x+y)?4?4=24

∴y?-x+3··········································································· 9分 当容器向右旋转时，如图4， 同理得y?1212，··························································10分 4?x当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点B’重合时，如图5.

1?PB?BB'?4?24，得PB=3 23∴由tan∠PB'B=，得∠PB'B=37o，∴?=∠B'PB=53o

4由BB’=4，且

此时37o≤?≤53o ·············· 12分 【注：本问的范围中，“≤”为“<”不影响得分】 延伸 当?=60o时，如图6所示，设FN∥EB，GB'∥EB

过点G作GH⊥BB'于点H 在Rt△B'GH中，GH=MB=2，∠GB'B=30o，∴HB'= 23 ∴MG=BH= 4?23

此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt△NFM和直角梯形MBB'G为底面的直棱柱

∵S△NFM +SMBB'G=

131113 ??1?(4?23?4)?2= 8?222611322)= 3?8>4（dm3） 63∴V溢出= 24?4(8?∴溢出液体可以达到4dm3. ··············································································14分

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