轴对称培优练习教案(2)

练习4

1．如图1-14，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，?CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？

1-14

2．已知：如图1-15，△ABC和△ADE都是等边三角形．B、C、D在一条直线上，?说明CE与AC+CD相等的理由．

1-15

3．已知：如图1-16，△ABC是等边三角形，延长AC到D，?以BD?为一边作等边三角形BDE，连结AE，则AD_______AE+AB．（填“>”或“＝”或“<”）

1-16

例5 已知：如图1-17，△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，那么CE是CD的几分之几？

分析 延长线段到倍长，再证明三角形全等，往往是说明线段倍分关系的重要途径和必要手段．

解：延长CE到F，使EF=CE，连结BF，CE是AB的中线，∴AE=EB． 又∠FEB=∠AEC，

∴△EBF≌△EAC，∴∠EBF=∠A． BF=AC=BD．

在△FBC和△DBC中， FB=BD，BC=BC．

∴∠FBC=∠FBE+∠EBC． =∠A+∠ACB．

∠DBC=∠A+∠ACB．

1-17

∴∠FBC=∠DBC． ∴△BCF≌△BCD．

∴CF=CD=2CE，故CE=

1CD． 2

练习5

1．如图1-18，D、E分别是等边三角形ABC两边BC、AC上的点，且AE=CD，连结BE、?AD交于点P．过B作BQ⊥AD于Q，请说明BP是PQ的2倍．

1-18

2．如图1-19，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，那么CE?是BD的几分之几？

1-19

3．已知：如图1-20，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于H，且AE=BE，?那么AH是BD的________倍．

1-20

答案: 练习1

1．解：设∠DEC=x， ∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED．

∴x=∠AEC-∠ADE=（∠B+30°）-∠ADE=（∠B+30°）-（∠C+x） ∵AB=AC，∴∠B=∠C

∴2x=30°，x=15°，故选C． 2．解：∵AB=BB′，

∴∠BAB′=∠BB′A，∠B′BD=∠BAB′+∠BB′A=2∠BAB′． 又∠CBB′=∠DBB′，

∴∠ACB=∠CBB′+∠CB′B=3∠CAB．

设∠CAB=x，∴∠ACB=3x，∠CBD=4x，又AA′=AB， ∴∠A′=∠ABA′=∠CBD=4x． ∵AA′平分∠EAB． ∴∠A′AB=

1（180°-x）． 2 又∠A′AB=180°-（∠A′+∠ABA′）=180°-8x ∴

1（180°-x）=180°-8x． 2 ∴x=12°，故∠ACB=36°．

3．解：如图，作△AED≌△BAC，连结EC． 则∠AED=∠BAC=20°，

∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°．

∴∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°． 又∵AB=AE=AC，

∴△ACE是正三角形，AE=EC=ED． ∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°． ∴∠EDC=

1（180°-∠DEC）=70°． 2 ∴∠BDC=180°-（∠ADE+∠EDC）=30°． 练习2

1．解：∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠FEC=90°． 在Rt△DEB与Rt△FEC中， ∵∠B=∠C，∴∠BDE=∠F． ∵∠FDA=∠BDE，

∴∠FDA=∠F，故AD=AF．

2．解：以AD为边在△ADB内作等边△ADE，连结BE． 则∠1=∠2=∠3=60°． ∴AE=ED=AD． ∵∠DAC=15°，

∴∠EAB=90°-∠1-∠DAC=15°． ∴∠DAC=∠EAB．

又∵DA=AE，AB=AC， ∴△EAB≌△DAC．

∴∠EBA=∠DCA=15°．

∴∠BEA=180°-∠EBA-∠EAB=150°． ∵∠BED=360°-∠BEA-∠AED=150°． ∴∠BEA=∠BED． 又∵EB=EB，AE=ED．

∴△BEA≌△BED，∴BD=BA． 故选择C．

3．解：延长AD到G，使DG=AD，连结BG， ∵BD=DC，∠BDG=∠CDA，AD=DG， ∴△ADC≌△BDE．

∴AC=BG，∠G=∠EAF， 又∵BE=AC，∴BE=BG．

∴∠G=∠BED，而∠BED=∠AEF， ∴∠AEF=∠AFE，故FA=FE． 练习3

1．解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=CA

∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．

又∵BD=AF=CE，

∴△ABD≌△BCE≌△CAF． ∴∠1=∠2=∠3．

∴∠BAC-∠1=∠ABC-∠2=∠ACB-∠3． 即∠CAK=∠ABG=∠BCH． 又∵AB=BC=CA，

∴△ABG≌△BCH≌△CAK． ∴∠AGB=∠BHC=∠CKA． 即∠KGH=∠GHK=∠GKH． 故△GKH是等边三角形．

2．解：由于△ABC与△CDE均为等边三角形，A、C、E三点共线，得知： CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠BCE， 故△ACD≌△BCE．

∴∠ADC=∠BEC，AD=BE． 又DM=

11AD，EN=BE， 22 ∴△DCM≌△ECN．

∴∠DCM=∠ECN，CM=CN． 又∠ECN+∠NCD=∠ECD=60°， ∴∠NCM=∠MCD+∠NCD=60°． ∴△CMN是等边三角形．

3．解：连结BP．

∵△ABC与△CDP均为等边三角形，

∴AC=BC，CD=CP，∠ACB=∠DCP=60°． ∴∠1=∠2，

∴△ADC≌△BPC．

∴∠CBP=∠DAC=60°．

∵∠RBP=∠RBA+∠ABC+∠CBP=60°+60°+60°=180°， ∴R、B、P三点共线．

又∵∠RAQ=∠RAB+∠BAC+∠CAQ=60°+60°+60°=180°， ∴R、A、Q三点共线． 而AQ=AE=AD=BP，

∴RQ=RA+AQ=RB+BP=RP．

又∠R=60°，∴△PQR是等边三角形．

故以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形． 练习4

1．解：∵S△ACB=S△APB+S△APC， 即

111AB·CF=AB·PD+AB·PE． 222 ∴CF=PD+PE．

2．解：∵AC=AB，∠CAE=∠BAD，AE=AD， ∴△AEC≌△ADB． ∴CE=BD．

又∵BD=BC+CD=AC+CD． ∴CE=AC+CD．

3．解：∵△ABC和△BDE均为等边三角形．

∴∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD，AB=BC，BE=BD． ∴△ABE≌△CBD． …… 此处隐藏：1042字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……