轴对称培优练习教案

初中数学辅导练习

知能目标：

1．理解轴对称的概念．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质． 2．理解线段垂直平分线的性质及判定． 3.利用轴对称的性质作出成轴对称的图形

4．了解等腰三角形的概念，等腰三角形的性质，理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论

轴对称

(一) 典型例题讲解:

培优专题 等腰三角形

等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径．

判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等，

实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：

1．“角平分线+平行线”构造等腰三角形； 2．“角平分线+垂线”构造等腰三角形； 3．用“垂直平分线”构造等腰三角形；

4．用“三角形中角一个外角是不相邻内角的2倍关系”构造等腰三角形．

例1 如图1-1，△ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且∠BAM=∠CAN，MN=AN，求∠MAC的度数．

分析 AB=AC，MN=AN可知△ABC和△AMN均为等腰三角形，充分利用等腰三角形的性质寻找所求角间的关系．

解：设∠BAM=∠CAN=α，∠AMN=β， ∵MN=AN，

∴∠AMN=∠MAN=β． 设∠ABC=γ， 在△ABC中，

∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°， 由于∠BCA=∠CAB=2α+β， ∴4α+2β+γ=180°． 在△ABM中，β=α+γ，

∴4α+2β+（β-α）=180°．

1-1 即3（α+β）=180°．

∴α+β=60°，故∠MAC=60°． 练习1

1．如图1-2，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（ ）．

A．7．5° B．10° C．12.5° D．18°

1-2 2．如图1-3，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′=AB=B′B，A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？

1-3

3．如图1-4，等腰三角形ABC中，AB=BC，∠A=20°．D是AB边上的点，且AD=BC，?连结CD，则∠BDC=________．

1-4

例2 如图1-5，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD?的垂直平分线HE?交AC延长线于点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由． 分析 要说明似乎没有任何关系的两条线段相等，往往需要做一些工作，如添加辅助线，构造全等三角形等，从而达到解决问题的目的． 解：延长AD到F，使AF=EF， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠A=60°． ∴△AEF是等边三角形． ∴EA=EF，∠AEF=∠A=60°． 又∵EH垂直平分BD， ∴EB=ED，∠EBD=∠EDB． ∴△EAD≌△EFB． ∴AD=BF． 1-5 又∵BF=AF-AB=AE-AC=CE，

∴AD=CE．

练习2

1．已知如图1-6，在△ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED?的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？

1-6 1-7 1-8

2．如图1-7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，则BD与BA的大小关系是（ ）

A．BD>BA B．BD

3．已知：如图1-8，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=?AC，?延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？

例3 已知：如图1-9，△ABD和△BEC均为等边三角形，M、N分别为AE和DC?的中点，那么△BMN是等边三角形吗？说明理由．

分析 要说明一个三角形是等边三角形，?只要能够证明这个三角形满足“三条边相等或三个角相等或一个角是60°的等腰三角形”即可．本题只需利用三角形全等证得BM=BN，且∠MBN=60°即可．

解：在△ABE和△DBC中，

∵∠ABE=60°+∠DBE，∠DBC=60°+∠DBE， ∴∠ABE=∠DBC． ∵AB=BD，BE=EC． ∴△ABE≌△DBC．

∴AE=DC，∠MEB=∠NCB．

又∵M、N分别是AE和DC的中点， ∴ME=NC，又△BEC为等边三角形，

∴BE=BC．

∴△MBE≌△NBC，BM=BN． 1-9 ∴∠MBN=∠MBE-∠NBE=∠NBC-∠NBE=60°．

∴△BMN为等边三角形．

练习3

1．已知：如图1-10，在等边三角形ABC中，BD=CE=AF，AD与BE交于G，BE与CF?交于H，CF与AD交于K，试判断△GHK的形状．

1-10

2．已知：如图1-11，△ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，?使△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，那么△CMN?是等边三角形吗？为什么？

1-11

3．已知：如图1-12，等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使AD=AE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，则以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．

1-12

例4 已知：如图1-13，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=100°，∠ABC的平分线交AC于E，试比较AE+BE与BC的大小？

分析 说明一条线段的长是否等于其他两条线段长的和，?常常采用截取等长线段的方法，将那些本来没有关系的线段放在条线段上，这样可迎刃而解． 解：在BC上截取BF=BE，BD=BA，连结FE、DE，

∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=40°，又BE平分∠ABC， ∴∠1=∠2=

1∠ABC=20°． 2 ∵BF=BE，∴∠BEF=∠5=80°． 在△BAE和△BDE中， BA=BD，∠1=∠2，BE=BE． ∴△BAE≌△BDE．

∴AE=DE，∠3=∠A=100°． ∴∠4=180°-∠3=180°， ∴∠4=∠5，DE=FE，AE=FE．

又∠6=∠5-∠C=80°-40°=40°， ∴∠6=∠C，∴FE=FC．

故AE+BE=FC+BF=BC．

1-13