数值分析第五版课后习题答案(4)

F(xj) ?F?x0,?,xn???j?0(xj?x0)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)nf(xj)?g(xj) ??

(x?x)?(x?x)(x?x)?(x?x)j?0j0jj?1jj?1jnnf(xj) ??)

j?0(xj?x0)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)ng(xj) +?)

j?0(xj?x0)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)n ?f?x0,?,xn??g?x0,?,xn?

?得证。

01701874???2,2,?,2F2,2,?,214．f(x)?x?x?3x?1,求F?及????。

解：?f(x)?x7?x4?3x?1 若xi?2i,i?0,1,?,8

f(n)(?)则f?x0,x1,?,xn??

n!f(7)(?)7!?f?x0,x1,?,x7????1

7!7!f(8)(?)f?x0,x1,?,x8???0

8!15．证明两点三次埃尔米特插值余项是

(4) R3(x)?f?()(?xkx2)?(xk?1x2)?/?4!,k ,x?(k1x)解：

若x?[xk,xk?1]，且插值多项式满足条件

?(xk)?f?(xk) H3(xk)?f(xk),H3?(xk?1)?f?(xk?1) H3(xk?1)?f(xk?1),H3插值余项为R(x)?f(x)?H3(x) 由插值条件可知R(xk)?R(xk?1)?0

16

且R?(xk)?R?(xk?1)?0

?R(x)可写成R(x)?g(x)(x?xk)2(x?xk?1)2

其中g(x)是关于x的待定函数，

现把x看成[xk,xk?1]上的一个固定点，作函数

?(t)?f(t)?H3(t)?g(x)(t?xk)2(t?xk?1)2

根据余项性质，有

?(xk)?0,?(xk?1)?0

?(x)?f(x)?H3(x)?g(x)(x?xk)2(x?xk?1)2?f(x)?H3(x)?R(x)?0

?(t)?g(x)[2(t?xk)(t?xk?1)2?2(t?xk?1)(t?xk)2] ??(t)?f?(t)?H3???(xk)?0

??(xk?1)?0

由罗尔定理可知，存在??(xk,x)和??(x,xk?1)，使

??(?1)?0,??(?2)?0

即??(x)在[xk,xk?1]上有四个互异零点。

根据罗尔定理，???(t)在??(t)的两个零点间至少有一个零点， 故???(t)在(xk,xk?1)内至少有三个互异零点， 依此类推，?(4)(t)在(xk,xk?1)内至少有一个零点。

记为??(xk,xk?1)使

?(4)(?)?f(4)(?)?H3(4)(?)?4!g(x)?0

又?H3(4)(t)?0

f(4)(?)?g(x)?,??(xk,xk?1)

4!17

其中?依赖于x

f(4)(?)?R(x)?(x?xk)2(x?xk?1)2

4!分段三次埃尔米特插值时，若节点为xk(k?0,1,?,n)，设步长为h，即

xk?x0?kh,k?0,1,?,n在小区间[xk,xk?1]上

R(x)?f(4)(?)(x?x24!k)2(x?xk?1) ?R(x)?1f(4)(?)(x?x2k)(x?x24!k?1)?14!(x?x2k)(xk?1?x)2maxa?x?bf(4)(x)?1[(x?xk?xk?1?x)2]2maxf(4) 4!2a?x?b(x)

?14!?12h44maxa?x?bf(4)(x)h4?384maxa?x?bf(4)(x)16．求一个次数不高于

4

次的多项式

P(0)?P?(0)?0,P(1)?P?(1)?0,P(2)?0

解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式

x0?0,x1?1y0?0,y1?1 m0?0,m1?111H3(x)??yj?j(x)??mj?j(x)j?0j?0?0(x)?(1?2x?x0x)(x?x1)2

0?x1x0?x1?(1?2x)(x?1)2?x?x11(x)?(1?2x)(x?x0)21?x0x1?x0

?(3?2x)x2?0(x)?x(x?1)2?1(x)?(x?1)x2

18

P（x），使它满足

?H3(x)?(3?2x)x2?(x?1)x2??x3?2x2

设P(x)?H3(x)?A(x?x0)2(x?x1)2 其中，A为待定常数

?P(2)?1?P(x)??x3?2x2?Ax2(x?1)2?A?1 412x(x?3)2 4

从而P(x)?17．设f(x)1(?/)?x2，在?5?x?5上取n?10，按等距节点求分段线性插值函数Ih(x)，

计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)值，并估计误差。 解：

若x0??5,x10?5 则步长h?1,

xi?x0?ih,i?0,1,?,10

f(x)?1 21?x在小区间[xi,xi?1]上，分段线性插值函数为

Ih(x)?x?xi?1x?xif(xi)?f(xi?1)

xi?xi?1xi?1?xi11 ?(x?x)i1?xi21?xi?12 ?(xi?1?x)各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值为 当x??4.5时，f(x)?0.0471,Ih(x)?0.0486 当x??3.5时，f(x)?0.0755,Ih(x)?0.0794 当x??2.5时，f(x)?0.1379,Ih(x)?0.1500 当x??1.5时，f(x)?0.3077,Ih(x)?0.3500 当x??0.5时，f(x)?0.8000,Ih(x)?0.7500 …… 此处隐藏：372字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……