数值分析第五版课后习题答案(3)

?xl(x)?x

kjjij?0n?原式??Cki(?x)k?ixii?0n?(x?x)k?0

?得证。

5设f(x)?C2?a,b?且f(a)?f(b)?0,求证：

1maxf(x)?(b?a)2maxf??(x). a?x?ba?x?b8解：令x0?a,x1?b，以此为插值节点，则线性插值多项式为

L1(x)?f(x0) =?f(a)x?x1x?x0 ?f(x1)x0?x1x?x0x?bx?a?f(b) a?bx?a又?f(a)?f(b)?0

?L1(x)?0插值余项为R(x)?f(x)?L1(x)?1f??(x)(x?x0)(x?x1) 2?f(x)?1f??(x)(x?x0)(x?x1) 2又?(x?x0)(x?x1)2?1????(x?x0)?(x1?x)???2?

12?(x1?x0)41?(b?a)241?maxf(x)?(b?a)2maxf??(x). a?x?ba?x?b8xx6．在?4?x?4上给出f(x)?e的等距节点函数表，若用二次插值求e的近似值，要使

截断误差不超过10，问使用函数表的步长h应取多少？

解：若插值节点为xi?1,xi和xi?1，则分段二次插值多项式的插值余项为

?611

1f???(?)(x?xi?1)(x?xi)(x?xi?1) 3!1?R2(x)?(x?xi?1)(x?xi)(x?xi?1)maxf???(x)

?4?x?46R2(x)?设步长为h，即xi?1?xi?h,xi?1?xi?h

123343?R2(x)?e4?h?eh.

62733若截断误差不超过10，则

?6R2(x)?10?6343eh?10?6 27?h?0.0065.?7．若yn?2n,求?4yn及?4yn.，

解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

yn?2n

?4yn?(E?1)4yn

j?4?4?j??(?1)??Eynj?0?j?4j?4???(?1)??y4?n?jj?0?j?4 j?4?4?j??(?1)??2?ynj?0?j?4?(2?14)yn?yn?2n12?124?yn?(E?E)yn

?(E)(E?1)4yn ?E?yn?24?1244

?yn?2?2n?28．如果f(x)是m次多项式，记?f(x)?f(x?h)?f(x)，证明f(x)的k阶差分

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。 ?kf(x)(0?k?m)是m?k次多项式，并且?m?1f(x)?0（l为正整数）解：函数f(x)的Taylor展式为

f(x?h)?f(x)?f?(x)h?其中??(x,x?h)

11(m)1f??(x)h2???f(x)hm?f(m?1)(?)hm?1 2m!(m?1)!又?f(x)是次数为m的多项式

?f(m?1)(?)?0??f(x)?f(x?h)?f(x) ?f?(x)h?

11(m)f??(x)h2???f(x)hm 2m!??f(x)为m?1阶多项式

?2f(x)??(?f(x)) ??2f(x)为m?2阶多项式

依此过程递推，得?kf(x)是m?k次多项式

??mf(x)是常数

?当l为正整数时， ?m?1f(x)?0

9．证明?(fkgk)?fk?gk?gk?1?fk 证明

?(fkgk)?fk?1gk?1?fkgk

?fk?1gk?1?fkgk?1?fkgk?1?fkgk

?gk?1(fk?1?fk)?fk(gk?1?gk)?gk?1?fk?fk?gk?fk?gk?gk?1?fk

?得证

10．证明

?f?gkk?0n?1k?fngn?f0g0??gk?1?fk

k?0n?1证明：由上题结论可知

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fk?gk??(fkgk)?gk?1?fk ??fk?gkk?0n?1n?1??(?(fkgk)?gk?1?fk)

k?0n?1???(fkgk)??gk?1?fkk?0k?0n?1??(fkgk)?fk?1gk?1?fkgk???(fkgk)k?0n?1

?(f1g1?f0g0)?(f2g2?f1g1)???(fngn?fn?1gn?1)?fngn?f0g0??fk?gk?fngn?f0g0??gk?1?fk

k?0k?0n?1n?1得证。 11．证明

n?1??j?02jn?12yj??yn??y0

n?1证明

??y??(?yj?0j?0j?1??yj)

得证。

?(?y1??y0)?(?y2??y1)???(?yn??yn?1)??yn??y0

12．若f(x)?a0?a1x???an?1xn?1?anxn有n个不同实根x1,x2,?,xn， 证明：

?j?1nxk?0,0?k?n?2;j???1 f?(xj)?n0,k?n?1证明：?f(x)有个不同实根x1,x2,?,xn 且f(x)?a0?a1x???an?1xn?1?anxn

?f(x)?an(x?x1)(x?x2)?(x?xn)

令?n(x)?(x?x1)(x?x2)?(x?xn) 则

?j?1nnxkxkjj??

?(xj)f?(xj)j?1an?n14

?(x)?(x?x2)(x?x3)?(x?xn)?(x?x1)(x?x3)?(x?xn) 而?n ???(x?x1)(x?x2)?(x?xn?1)

?(xj)?(xj?x1)(xj?x2)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn) ??n令g(x)?xk,

xkjg?x1,x2,?,xn???

?j?1?n(xj)nxkj则g?x1,x2,?,xn???

??(x)j?1njn又?n?j?1nxk1j?g?x1,x2,?,xn? f?(xj)an??j?1xk?0,0?k?n?2;j???1 f?(xj)?n0,k?n?1?得证。

13．证明n阶均差有下列性质：

（1）若F(x)?cf(x)，则F?x0,x1,?,xn??cf?x0,x1,?,xn?;

（2）若F(x)?f(x)?g(x)，则F?x0,x1,?,xn??f?x0,x1,?,xn??g?x0,x1,?,xn?. 证明：

f(xj)（1）?f?x1,x2,?,xn???

j?0(xj?x0)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)nF(xj) F?x1,x2,?,xn???(x?x)?(x?x)(x?x)?(x?x)j?0j0jj?1jj?1jnncf(xj) ??

j?0(xj?x0)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)nf(xj) ?c(?)

(x?x)?(x?x)(x?x)?(x?x)j?0j0jj?1jj?1jnn ?cf?x0,x1,?,xn?

?得证。

(2)?F(x)?f(x)?g(x)

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