数值分析第五版课后习题答案

第一章 绪论

1．设x?0,x的相对误差为?，求lnx的误差。

e*x*?x? x*x*1e* 而lnx的误差为e?lnx*??lnx*?lnx?x**解：近似值x的相对误差为?=er?*进而有?(lnx*)??

2．设x的相对误差为2%，求x的相对误差。 解：设f(x)?xn，则函数的条件数为Cp?|nxf'(x)| f(x)又?f'(x)?nxn?1x?nxn?1|?n , ?Cp?|n又??r((x*)n)?Cp??r(x*) 且er(x*)为2

??r((x*)n)?0.02n

3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指

*****出它们是几位有效数字：x1?1.1021,x2?0.031, x3?385.6, x4?56.430,x5?7?1.0. *解：x1?1.1021是五位有效数字； *x2?0.031是二位有效数字； *x3?385.6是四位有效数字； *x4?56.430是五位有效数字； *x5?7?1.0.是二位有效数字。

********4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) x1,(2) x1. ?x2?x4x2x3,(3) x2/x4****其中x1均为第3题所给的数。 ,x2,x3,x4解：

1

121*?(x2)??10?321*?(x3)??10?1

21*?(x4)??10?321*?(x5)??10?12?(x1*)??10?4***(1)?(x1?x2?x4)***??(x1)??(x2)??(x4) 111?4?3?3??10??10??10222?1.05?10?3***(2)?(x1x2x3)*********?x1x2?(x3)?x2x3?(x1)?x1x3?(x2)111?1.1021?0.031??10?1?0.031?385.6??10?4?1.1021?385.6??10?3222?0.215**(3)?(x2/x4)

?****x2?(x4)?x4?(x2)x*24110.031??10?3?56.430??10?322?56.430?56.430?10?54?R3 3

5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为V?则何种函数的条件数为

R?V'R?4?R2Cp???3

4V?R33??r(V*)?Cp??r(R*)?3?r(R*)

又??r(V*)?1

2

故度量半径R时允许的相对误差限为?r(R*)?6．设Y0?28，按递推公式Yn?Yn?1?1?1?0.33 31783 （n=1,2,…） 100计算到Y100。若取783?27.982（5位有效数字），试问计算Y100将有多大误差？ 解：?Yn?Yn?1?1783 100?Y100?Y99?Y99?Y98?1783 1001783 1001Y98?Y97?783 100……

Y1?Y0?1783 1001783 100依次代入后，有Y100?Y0?100?即Y100?Y0?783，

若取783?27.982, ?Y100?Y0?27.982

1*??(Y100)??(Y0)??(27.982)??10?3

21?Y100的误差限为?10?3。

27．求方程x?56x?1?0的两个根，使它至少具有4位有效数字（783?27.982）。 解：x?56x?1?0，

故方程的根应为x1,2?28?783 故 x1?28?783?28?27.982?55.982

22?x1具有5位有效数字

x2?28?783?128?783?11??0.017863

28?27.98255.982x2具有5位有效数字

8．当N充分大时，怎样求

?N?1N1dx？ 21?x3

解

?N?1N1dx?arctan(N?1)?arctanN 1?x2设??arctan(N?1),??arctanN。 则tan??N?1,tan??N.

1?N1?x2dx????N?1?arctan(tan(???))tan??tan? ?arctan1?tan??tan?N?1?N?arctan1?(N?1)N1?arctan2N?N?19．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm？ 解：正方形的面积函数为A(x)?x2

2??(A*)?2A*??(x*).

当x*?100时，若?(A*)?1, 则?(x*)?1?10?2 22故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过1cm 10．设S?12gt，假定g是准确的，而对t的测量有?0.1秒的误差，证明当t增加时S的212gt,t?0 22绝对误差增加，而相对误差却减少。 解：?S? ??(S*) )?gt??(t*当t*增加时，S*的绝对误差增加

?r(S*)??(S*)S*

gt2??(t*)?1*2g(t)2?(t*)?2*t4

当t*增加时，?(t*)保持不变，则S*的相对误差减少。 11．序列?yn?满足递推关系yn?10yn?1?1 (n=1,2,…),

若y0?2?1.41（三位有效数字），计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解：?y0?2?1.41

1??(y0*)??10?2

2又?yn?10yn?1?1 ?y1?10y0?1 ??(y1*)?10?(y0*) 又?y2?10y1?1 ??(y2*)?10?(y1*)

??(y2*)?102?(y0*)......

0??(y10*)?110?y(0*) ?10?101?1?022

1??1082计算到y10时误差为

1?108，这个计算过程不稳定。 212．计算f?(2?1)6，取2????，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？

113, , ， 99?702。 (3?22)63(2?1)(3?22)解：设y?(x?1)， 若x?612，x*?1.4，则??x*???10?1。

2若通过1计算y值，则 6(2?1)5