精品2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法学案(2)

※精品试卷※

2.综合法、分析法的综合应用

[典例] (12分)设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，若函数y＝f(x＋1)的图象与f(x)的图象关于y轴对称．

2

?1?求证：f?x＋?为偶函数． ?2?

[解题流程]

[规范解答]

?1?法一：要证f?x＋?为偶函数，只需证明其对称轴为直线x＝0，(2分) ?2?

b1

即只需证－－＝0，只需证a＝－b，(4分)

2a2

由已知，抛物线f(x＋1)的对称轴x＝－－1与f(x)的对称轴x＝－关于y轴对称，(8分)

2a2abbb－b∴－－1＝－，

2a2a∴a＝－b，(10分)

?1?∴f?x＋?为偶函数．(12分) ?2??1?法二：要证f?x＋?为偶函数， ?2?

1??1??只需证f?x＋?＝f?－x＋?.(2分) 2??2??11

令x＋＝t，则x＝t－，

22∴只需证f(t)＝f(－t＋1)，(6分) 即证f(x)＝f(－x＋1)．

推 荐 下 载

※精品试卷※

因为函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称， 所以函数y＝f(x)上任一点(x，f(x))，

关于y轴的对称点(－x，f(x))在y＝f(x＋1)上， 即f(－x＋1)＝f(x)，(10分)

?1?所以f?x＋?为偶函数．(12分) ?2?

[名师批注]

用分析法证明，将问题转化为证明a＝－b.此处易找错对称轴而导致解题错误

利用综合法，将函数图象的对称问题转化为两条轴关于y轴对称．此处易出现找不到此关系式而导致问题无法证明的情况

1??1?1??1??1???由偶函数的定义可知，若f?x＋?为偶函数，则有f?－x＋?＝f?x＋?成立．此处易误认为f?－x－?＝f?x＋?2??2?2??2??2???成立而导致错误

以

上

是

用

分

析

法

证

明

的

以下是用综合法证明的

此处易发生不会利用f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称这一条件，而造成问题无法证明 [活学活用]

11

已知a≥－，b≥－，a＋b＝1，求证：2a＋1＋2b＋1≤22.

22证明：要证2a＋1＋2b＋1≤22， 只需证2(a＋b)＋2＋22a＋1·2b＋1≤8. 因为a＋b＝1，即证2a＋1·2b＋1≤2. 11

因为a≥－，b≥－，

22所以2a＋1≥0,2b＋1≥0， 所以2a＋1·2b＋1≤＝

a＋

＋

2

b＋

a＋b＋

2

＝2，

即2a＋1·2b＋1≤2成立， 因此原不等式成立．

[随堂即时演练]

1．“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a－b)＋(b－c)＋(c－a)≠0；

推 荐 下 载

2

2

2

※精品试卷※

②a>b与a

B．1 D．3

解析：选C 由于a，b，c不全相等中含有a≠b≠c这种情况，所以③错误，①②都正确． 2．欲证不等式 3－5＜ 6－8成立，只需证( ) A．(3－5)＜(6－8) B．(3－6)＜(5－8) C．(3＋8)＜(6＋5) D．(3－5－6)＜(－8)

解析：选C 要证 3－5＜ 6－8成立，只需证 3＋8＜6＋5成立，只需证(3＋8)＜(6＋5)成立．

3．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

?1??1??1?求证：?－1??－1??－1?≥8.

?a??b??c?

证明过程如下：

∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，

1b＋c1a＋c1a＋b∴－1＝＞0，－1＝＞0，－1＝＞0，

aabbcc?1??1??1?b＋c·a＋c·a＋b≥2bc·2ac·2ab＝8， ∴?－1??－1??－1?＝?a??b??c?

abcabc当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立． 这种证法是________(填“综合法”或“分析法”)．

解析：本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种方法是综合法． 答案：综合法 4．将下面用分析法证明

a2＋b2

2

≥ab的步骤补充完整：要证

a2＋b2

2

≥ab，只需证a＋b≥2ab，也就是证________，

22

即证________．由于________显然成立，因此原不等式成立．

解析：用分析法证明要证

a2＋b2

2

≥ab的步骤为：

2

2

a2＋b2

2

≥ab成立，只需证a＋b≥2ab，

2

2

2

也就是证a＋b－2ab≥0，即证(a－b)≥0. 由于(a－b)≥0显然成立，所以原不等式成立． 答案：a＋b－2ab≥0 (a－b)≥0 (a－b)≥0

推 荐 下 载

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5．已知a＞0，b＞0，求证：

ab＋≥ a＋b.(要求用两种方法证明) ba证明：法一：(综合法)因为a＞0，b＞0， 所以

ab?a??b?