精品2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法学案

※精品试卷※

2．2.1 综合法和分析法

综合法 [提出问题]

阅读下面证明过程，回答问题．

π??求证：π是函数f(x)＝sin?2x＋?的一个周期． 4??证明：因为f(x＋π)＝sin?

??

x＋π

ππ?π???＋?＝sin?2x＋2π＋?＝sin?2x＋?＝f(x)，所以由周期函数的定?4?4?4???

π??义可知，π是函数f(x)＝sin?2x＋?的一个周期．

4??

问题1：本题的条件和结论各是什么？

π??提示：条件：f(x)＝sin?2x＋?；结论：π是f(x)的一个周期． 4??问题2：本题的证明顺序是什么？ 提示：从已知利用诱导公式到待证结论． [导入新知] 1．综合法的定义

利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．

2．综合法的框图表示

P?Q1―→Q1?Q2―→Q2?Q3―→…―→Qn?Q

(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论) [化解疑难]

综合法的特点

(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件．

(2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理和运算法则，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明.

分析法

[提出问题]

阅读下面证明过程，回答问题． 求证：6＋7≥22＋5.

证明：要证原不等式成立，只需证(6＋7)≥(22＋5)，即证242≥240，该式显然成立，因此原不等式成立．

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2

2

※精品试卷※

问题1：本题证明从哪里开始？ 提示：从结论开始． 问题2：证明思路是什么？

提示：寻求每一步成立的充分条件． [导入新知] 1．分析法的定义

从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．

2．分析法的框图表示

Q?P1―→P1?P2―→P2?P3―→…―→

[化解疑难]

得到一个明显

成立的条件

分析法的特点

(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件．

(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等．

综合法的应用 [例1] 已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)＞6abc. [证明] ∵a，b，c是正数，∴b＋c≥2bc， ∴a(b＋c)≥2abc.① 同理，b(c＋a)≥2abc，②

2

2

2

2

2

2

22222

2

c(a2＋b2)≥2abc.③

∵a，b，c不全相等，

∴b＋c≥2bc，c＋a≥2ca，a＋b≥2ab三式中不能同时取到“＝”． ∴①②③式相加得

2

2

2

2

2

2

a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.

[类题通法]

综合法的证明步骤

(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等； (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．

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※精品试卷※

特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程． [活学活用]

41

已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：＋≥9.

ab证明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1， 41∴＋＝

aba＋ba＋b4ba＋＝4＋＋＋1 ababb4ba×＝5＋4＝9.

4ba＝5＋＋≥5＋2 aab4ba当且仅当＝，

ab即a＝2b时“＝”成立.

分析法的应用 [例2] 设a，b为实数，求证 a＋b≥[证明] 当a＋b≤0时，∵a＋b≥0， ∴a＋b≥2

2

2

2222(a＋b)． 22

(a＋b)成立． 2

当a＋b>0时， 用分析法证明如下： 要证a＋b≥

22

2

2

(a＋b)， 2

22

只需证(a＋b)≥?

?2?2

a＋b?， ?2?

1222222

即证a＋b≥(a＋b＋2ab)，即证a＋b≥2ab.

2∵a＋b≥2ab对一切实数恒成立， ∴a＋b≥2

2

2

2

2

(a＋b)成立． 2

综上所述，不等式得证． [类题通法]

分析法的证明过程及书写形式

(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．

(2)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立． [活学活用]

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※精品试卷※

在锐角△ABC中，求证：tan Atan B＞1.

sin Asin B证明：要证tan Atan B＞1，只需证＞1.

cos Acos B∵A，B均为锐角， ∴cos A＞0，cos B＞0. 即证sin Asin B＞cos Acos B， 即cos Acos B－sin Asin B＜0， 只需证cos(A＋B)＜0. ∵△ABC为锐角三角形， ∴90°＜A＋B＜180°，

∴cos(A＋B)＜0，因此tan Atan B＞1.

综合法和分析法的综合应用 [例3] 已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)＋(b＋c)＝3(a＋b＋c).

[证明] 法一：(分析法)

要证(a＋b)＋(b＋c)＝3(a＋b＋c)， 即证

113＋＝， a＋bb＋ca＋b＋c－1

－1

－1

－1

－1

－1

只需证

a＋b＋ca＋b＋c＋＝3， a＋bb＋cca＋bb＋c＋化简，得

a＝1，

即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)， 所以只需证c＋a＝b＋ac.

因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列， 所以B＝60°，

2

2

2

a2＋c2－b21

所以cos B＝＝，

2ac2

即a＋c－b＝ac成立．

∴(a＋b)＋(b＋c)＝3(a＋b＋c)成立． 法二：(综合法)

因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列， 所以B＝60°.

由余弦定理，有b＝c＋a－2accos 60°， 所以c＋a＝ac＋b， 两边加ab＋bc，得

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2

2

22

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－1

－1

－1

2

2

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※精品试卷※

c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，

两边同时除以(a＋b)(b＋c)，得

ca＋bb＋c所以?即

＋a＝1，

?c＋1?＋?a＋1?＝3，

???

?a＋b??b＋c?

113＋＝， a＋bb＋ca＋b＋c－1

－1

－1

所以(a＋b)＋(b＋c)＝3(a＋b＋c). [类题通法]

综合法与分析法的适用范围

(1)综合法适用的范围

①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等； ②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型． (2)分析法适用的范围

分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题． [活学活用]

设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b. 求证：a＋b＞ab＋ab. 证明：法一：(分析法) 要证a＋b＞ab＋ab成立，

即需证(a＋b)(a－ab＋b)＞ab(a＋b)成立． 又因a＋b＞0，

故只需证a－ab＋b＞ab成立， 即需证a－2ab＋b＞0成立， 即需证(a－b)＞0成立． 而依题设a≠b， 则(a－b)＞0显然成立． 由此命题得证． 法二：(综合法)

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