抽样分布、参数估计和假设检验(5)

（三）总体情况、样本含量与数学模型的关系

在两个均数的检验中，常用数学模型是正态分布模型，t分布模型和近似正态分布。

表9-4 总体情况、样本情况、数学模型及检验方法的关系表 检 验 方 法 Z检验 2t检验 n不论大小 n>30 Z?检验 n>30 n>30 n>30 近似正态模型 总体情况 正态分布，σ已知 σ未知 数学模型 2n不论大小 n>30 正 态 非正态 正态分布模型 t分布模型 另外，当总体非正态，且样本容量小于30时，上述理论分布模型均不适用。可进行非参数检验，或是进行数据转化再进行参数检验。

第三节 单样本均数之差的显著性检验

一、检验方法

单总体平均数差异的显著性检验是指检验一个样本均数与相应总体均数之差（即

X??)是否显著的统计方法。

表9-5 单总体均数之差检验的方法选择及计算内容

检验方法 总体情况 均数标准误 检验值 Z检验 正态 σ已知 2SEX??0n Z?X??0SEXX??0SEX t检验 σ未知 2SEX?Sn?1 t? 非正态 σ已知 2SEX?SEX??0nSn Z?检验 n>30 σ未知 2Z??X??0SEX

二、条件分析

1．确定是双尾检验，还是单尾检验。 2．明确总体方差σ2是已知的，还是未知的。 3．分析总体分布是正态的，还是非正态的。. 4．决定是采用Z检验，还是t检验，又或是Z?检验。 三、综合训练

例9-1：法律专业一学生想检验某教授的观点，即犯轻微诈骗罪的犯人一般在监狱平均拘留8个月。他从法院的卷宗里随即抽取了70份这样的案例，得到平均数8.2个月，标准差2.2个月。能否根据测试结果否定教授的结论？（假设总体分布为非正态）

1）条件分析

由题目条件可知，总体分布为非正态，总体方差未知，样本容量大于30，且为双尾检验，故应选择Z?检验。

2）检验过程 ① 建立假设

Ho：样本均数的总平均（μX）与总体均数（μ0）无显著差异，即μx=μ

② 计算检验值

均数的标准误：

0

Ha：样本均数的总平均（μX）与总体均数（μ0）有显著差异，即μx≠μ0

SEX?Sn2.270?2.2?0.268.37

Z??检验值：

X??08.2?8SEX?0.26?0.77

③ 比较与决策

因为，Z??0.77< Z0.052?1.96，p>0.05，接受Ho，拒绝Ha。

例9-2：根据某标准化阅读理解测验的规则，8年级的学生的平均应达到73.2分，标准差为8.6分。如果从某校区随即抽取45个样本，其均数为76.7。试问该校区的阅读理解测验的平均成绩是否显著高于全体8年级学生的成绩？

1）条件分析

由题目条件可知，总体分布为正态（标准测验），总体方差已知，样本容量大于30，且为单尾检验，故应选择Z检验。

2）分析过程与方法

Ho：?X?0，即该校阅读理解测验成绩显著高于8年级的成绩

② 计算检验值 均数的标准误：① 建立假设。

SEX??0n?8.645?8.6?1.286.71

Z?检验值：

③比较与决策。因为Z=2.73>Z0.05/1=1.645，拒绝Ho，接受Ha。

例9-3：在一项空间知觉能力测试后，随机抽取6名被试的成绩为1.4、1.8、1.1、1.9、2.2、1.21，这些数值是否能证明“这种能力测试平均数一般为1.5”的论断？

1）条件分析

由题目条件可知，总体分布为正态（能力测验），总体方差未知，样本容量小于30，且为双尾检验，故应选择t检验。 2）检验过程与方法

① 建立假设

X??076.7?73.2?2.73SEX?1.28

H0：?=1.5

Ha：??1.5

② 计算检验值

均数的标准误：

SEX?Sn?1n?0.4346?0.18

t?X??01.6?1.5SEX?0.18?0.56

③ 比较与决策

当自由度为df?6?1?5时，t?5?0.052?2.57；因为t?0.560.05，接受虚无假设，拒绝研究假设，差异不显著。

例9-4：某市4～6年级进行了标准化综合测验，平均分100。六年级388人，平均分

109，标准差9分。试问六年级平均分与4～6年级平均分有无显著差异？

1）条件分析

由题目条件可知，总体分布为正态（标准化测验），总体方差未知，样本容量大于30，且为双尾检验，故可选择t检验或Z?检验。 2）检验过程与方法

① 建立假设

H0：?X??0 Ha：?X??0

② 计算检验值

均数的标准误：

SEX?Sn?1?9388?9?0.4619.70

t?检验值：

X??0109?100SEX?0.46?19.56

③ 比较与决策

当自由度为df?388?1?387时，t?5?0.012?2.58；因为t?19.56>t?5?0.012?2.58，

p<0.05，拒绝虚无假设，接受研究假设。

第四节 双样本均数之差的检验

一、均数之差标准误的基本公式

随机从总体中抽取两个容量为n1和n2的一切可能样本时，两个样本的均数之差（D?X1?X2）也会形成一种抽样分布，两均数之差D在抽样分布上的标准差称两均数之差的标准误，记为SEDX。

（一）σ2未知时标准误 1．相关样本均数之差的标准误

SEDX?2S12?S2?2rS1S2n?1

2．独立样本本均数之差的标准误

SEDX?SEDX?2S12?S2n?1[n1?n2，df?2?n?1?）

2S12S2?n1?1n2?1（方差不齐性时）

（二）σ2已知时的标准误 根据中心极限定理三，有

1）相关样本 2）独立样本

SEDX?2?12??2?2r?1?2nSEDX?2?12??2n

??12n1?2?2n2

二、总体方差齐性时的均数检验 （一）双总体的Z检验

1．标准误：两总体分布均为正态，且?1，?2已知，其均数之差标准误为

221）独立样本

SEDX?SEDX????n2122??12n1?2?2n2

2?12??2?2r?1?22）相关样本

2．检验值

nZ?∵

又∵ Ho：μ1-μ2=0

D??0?X1?X2????1??2??SEDXSEDX

Z??X∴

（二）双总体的t检验

1．标准误：双总体的t检验用于两个总体均为正态分布， 1）独立样本

?X2?SEDX

1?12，未知。

SEDX?样本容量不等时

2n1S12?n2S2n?n2?1n1?n2?2n1n2（n≠n）

12

样本容量相等时

2）相关样本

SEDX?2S12?S2n?1

SEDX?自由度则为 df?n?1

2S12?S2?2rS1S2n?1

t?２．检验值：

?X?X2?SEDX

1（三）双总体Z?检验

样本容量大于30，且总体为非正态分布，均数之差的标准误如表9-5所示。

表9-6 Z?检验的标准误

相关样本 独立样本 ?21，?已知 22SEDX??12n1?2?2n2 SEDX?2?12??2?2r?1?2n