1994年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题及答案(2)

z2?az?b?1?i?2?a?1?i??b ?22z?z?1?1?i???1?i??1 =

?a?b???a?2?i

i ??a?2???a?b?i 由题设条件知(a+2)－(a+b)i=1－i． 根据复数相等的定义，得??a?2?1

??(a?b)??1?a??1,解得?

b?2.?22．本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力． 证明：

tgx1+tgx2=

sinx1sinx2 ?cosx1cosx2?sinx1cosx2?cosx1sinx2

cosx1cosx2sin?x1?x2? cosx1cosx22sin?x1?x2? cos?x1?x2??cos?x1?x2???∵x1，x2∈(0，

?)，x1≠x2， 2∴2sin(x1+x2)>0，cos x1cosx2>0，且0?x?x22sin?x1?x2?1，∴( tgx1+tgx2)>tg1，

221?cos?x1?x2?即

x?x21[f(x1)+f(x2)]>f(1) 2223．本小题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力．

(1)证明：

∵A1B1C1－ABC是正三棱柱，∴四边形B1BCC1是矩形． 连结B1C交BC1于E，则B1E=EC．连结DE． 在△AB1C中，∵AD=DC，∴DE∥AB1．

又AB1?平面DBC1，DE?平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1．

(2)解：作DF⊥BC，垂足为F，则DF⊥面B1BCC1，连结EF，则EF是ED在平面B1BCC1上的射影．

∵AB1⊥BC1，

由(1)知AB1∥DE，∴DE⊥BC1，则BC1⊥EF，∴∠DEF是二面角α的平面角． 设AC=1，则DC=

1．∵△ABC是正三角形，∴在Rt△DCF中， 2DF=DC·sinC=

13，CF=DC·cosC=．取BC中点G．∵EB=EC，∴EG⊥BC．

44在Rt△BEF中，

EF2=BF·GF，又BF=BC－FC=

31，GF=， 44331DF3?4?1．∴∠DEF=45°． ∴EF2=·，即EF=．∴tg∠DEF=

44EF434故二面角α为45°．

24．本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质，解析几何的基本思想方法以及综合运用知识解决问题的能力．

解法一：依题设抛物线C的方程可写为

y2=2px (p>0)，

且x轴和y轴不是所求直线，又l过原点，因而可设l的方程为

y=kx (k≠0)．

①

设A'、B'分别是A、B关于l的对称点，因而A'A⊥l，直线A'A的方程为

y??1?x?1? ② k

由①、②联立解得AA'与l的交点M的坐标为??又M为AA'的中点，从而点A'的坐标为

1k??，??． 22?k?1k?1?1?k2?1?x A'=2??2， ??1?2k?1?k?1?y A'=2?2k??k?． ③ ?0???22k?1?k?1?同理得点B'的坐标为

16k8k2?1x B'=2， y B'= ． ④ 2k?1k?1又A'、B'均在抛物线y2=2px(p>0)上，由③得

??2k?k2?1?，由此知k≠±1， ??2??2p?2k?1?k?1?2k2即 p?4 ⑤

k?1?8k2?1同理由④得??k2?1?2???16k??2p?． 2?k?1?2??2?k?1?2k

从而 =

k?1?k?1?k2k2?1即 p?． 2k?1k2

2??2242，

整理得 k2－k－1=0． 解得k1?1?51?5，k2?. 22但当k?1?55?0， 时，由③知xA???251?5． 2这与A'在抛物线y2=2px(p>0)上矛盾，故舍去k2?设k?

1?51?5x． ，则直线l的方程为y?22将k?251?5代入⑤，求得p?．

52所以直线方程为

y?抛物线方程为

1?5x． 2y2?45x． 5解法二：设点A、B关于l的对称点分别为A'(x1、y1)、B'(x2，y2)，则

|OA'|=|OA|=1，|OB'|=|OB|=8．

设由x轴正向到OB'的转角为α，则

x2=8cosα，y2=8sinα． ①

因为A'、B'为A、B关于直线l的对称点，而∠BOA为直角，故∠B'OA'为直角，因此 x1=cos???????????=sinα，y1=sin????=－cosα， ② 2?2??由题意知x1>0，x2>0，故α为第一象限角． 因为A'、B'都在抛物线y2=2px上，将①、②代入得

cos2α=2p·sinα，64sin2α=2p·8cosα．

∴8sin3α=cos3α， ∴2sinα=cosα， 解得 sin??15，cos??2525．

将sin??15，cos??代入cos2α=2psinα得

cos2?25p??，

2sin?5∴抛物线C的方程为y?245x． 5因为直线l平分∠B'OB，故l的斜率

k?tg?????1??????????????tg??? 2?2???24????sin????cos?1?52?? ? ???1?sin?2??1?cos????2??∴直线l的方程为y?5?1x． 225．本小题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识考查逻辑推理能力和分析问题与解决问题的能力．

解：(1)由题意，当n=1时有

a1?2?2S1，S1=a1， 2∴

a1?2?2a1， 2a1=2．

解得

当n=2时有

a2?2?2S2，S2=a1+ a2，a1=2代入，整理得 2(a2－2)2=16．

由a2>0，解得 a2=6． 当n=3时有

a3?2?2S3，S3=a1+ a2+ a3，将a1=2，a2=6代入，整理得 2(a3－2)2=64．

由a3>0，解得 a3=10． 故该数列的前3项为2，6，10．

(2)解法一：由(1)猜想数列{an}有通项公式an =4n－2． 下面用数学归纳法证明数列{ an }的通项公式是

an =4n－2 (n∈N)．

①当n=1时，因为4×1－2=2，又在(1)中已求出a1=2，所以上述结论成立． ②假设n=k时结论成立，即有ak=4k－2．由题意，有

ak?2?2Sk， 2将ak=4k－2代入上式，得2k=

2Sk，解得Sk=2k2．

由题意，有

ak?1?2?2Sk?1，Sk+1=Sk+ak+1， 22?a?2?2将Sk=2k2代入，得?k?1?=2(ak+1+2k2)，整理得ak?1－4 ak+1+4－16 k2=0．

?2?由ak+1>0，解得ak+1=2+4k．所以ak+1=2+4k=4(k+1)－2． 这就是说，当n=k+1时，上述结论成立． 根据①、②，上述结论对所有的自然数n成立． 解法二：由题意，有

an?21?2Sn?n?N?，整理得Sn=(an+2)2，

821(an+1+2)2， 81∴an+1= Sn+1－Sn =[(an+1+2)2－(an+2)2]，

8由此得 Sn+1 =

整理得(an+1+ an)( an+1－an－4)=0， 由题意知 an+1+an≠0，∴an+1－an=4．

即数列{ an }为等差数列，其中a1=2，公差d=4．∴an =a1+(n－1)d=2+4(n－1)， 即通项公式为an =4n－2． (3)解：令cn=bn－1，则

cn??an1?an?1????2? 2?aan?1?n? ?1??2n?1??2n?1???1????1?? ??2??2n?1??2n?1??11?， 2n?12n?1?b1+b2+…+bn－n=c1+c2+…+cn =?1??????1??11?1??1????????

3??35??2n?12n?1??1?

1． 2n?1