辽宁各市2012年中考数学试题分类解析汇编专题10：四边形(4)

∵AB=AD，∴∠ADB=

12（180°－∠A）=α。

∴∠BDC=∠ADC－∠ADB=180°－2α。 由（1）得：∠BEF=180°－2α=∠BDC。 又∵∠EOB=∠DOF，∴△EOB∽△DOF。∴

OEOD=OBOF，即

OEOB=ODOF。

∵∠EOD=∠BOF，∴△EOD∽△BOF。∴∠EFB=∠EDO=α。 ∴∠EBF=180°－∠BEF－∠EFB=α=∠EFB。∴EB=EF。

（3） 延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，

则∠G=∠AEG=∵AD∥BC，

∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC。 ∴∠EDF=∠G。

∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠GBC。

∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，即∠EBG=∠FED。 ∴△DEF∽△GBE。∴

EBEF=BGDE180???A2=180???180??2?2?=?。

。

∵AB=mDE，AD=nDE，∴AG=AE=（n+1）DE。 ∴BG=AG－AB=（n+1）DE－mDE=（n+1－m）DE。 ∴

EB（n?1?m）DE==n?1?m。 EFDE【考点】梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。 【分析】（1）由梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，根据平行线的性质，易求得∠A的度数，又由∠BEF=∠A，即可求得∠BEF的度数：

∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°。∴∠A=180°－∠ABC=180°

－2α。

又∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠A=180°－2α。

（2）连接BD交EF于点O，连接BF，由AB=AD，易证得△EOB∽△DOF，根据相

似三角形的对应边成比例，可得

OEOD=OBOF ，从而可证得△EOD∽△BOF，又由相似三角形

的对应角相等，易得∠EBF=∠EFB=α，即可得EB=EF。

（3）延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，易证得△DEF∽△GBE，然后由相

似三角形的对应边成比例，即可求得

EBEF 的值。

5. （2012辽宁沈阳10分）已知，如图，在荀ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.

（1）求证：△AEM≌△CFN；

（2）求证：四边形BMDN是平行四边形.

【答案】证明：(1） ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC ，AD∥BC。

∴∠E=∠F，∠DAB=∠BCD。 ∴∠EAM=∠FCN。 又∵AE=CF ∴△AEM≌△CFN（ASA）。

（2） ∵由（1）△AEM≌△CFN， ∴AM=CN。

又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∴四边形BMDN是平行四边形。

【考点】平行四边形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB=∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F，∠EAM=∠FCN，从而利用ASA可作出证明。

（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得BM

且相等的四边形是平行四边形即可证明。

6. （2012辽宁铁岭12分）已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°,AB=AD=25，BC=32.连接BD， AE⊥BD，垂足为E.

(1) 求证：△ABE∽△DBC; (2) 求线段AE的长.

DN，则由有一组对边平行CD 。∴BM

DN。