2009年湖南省长沙市长郡中学高一自主招生数学试卷(4)

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www.jyeoo.com ∴∠DOC=∠CDO=45°， ∴△CDO为等腰直角三角形， 那么CO=CD． 连接OA，可得到直角三角形OAB， ∴AB=BC=CD=CO，BO=BC+CO=BC+CD=2AB， 那么AB2+OB2=52， ∴AB2+（2AB）2=52， ∴AB的长为． 点评： 解决本题的关键是构造直角三角形，注意先得到OB=2AB．

三、解答题（共2小题，满分20分）

17．（10分）甲、乙两班同时从学校A出发去距离学校75km的军营B军训，甲班学生步行速度为4km/h，乙班学生步行速度为5km/h，学校有一辆汽车，该车空车速度为40km/h，载人时的速度为20km/h，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？ 考点： 二元一次方程组的应用． 专题： 应用题． 301574分析： 根据题意可让甲班学生从学校A乘汽车akm出发至某处下车步行，汽车空车返回至某处，乙班同学此处上车，此处距离学校bkm，根据汽车接到乙班同学的时间=乙班同学及步行的时间，甲班步行时间=汽车接乙班返回时间+乙班坐车时间列出两个方程，求方程组的解即可．然后根据时间=少时间才能到达． 解答： 解：设甲班学生从学校A乘汽车出发至E处下车步行，乘车akm，空车返回至C处，乙班同学于C处上车，此时已步行了bkm． 即可得他们至少需要多 则， 解得a=60，b=20． 则至少需要（h）=6.75（小时）． 答：他们至少需要6.75小时才能到达． 点评： 本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题根据题意可画出草图，可以较快地列出所需等量关系．

18．（10分）如图，已知矩形ABCD，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN，P在CD上移动，AP与DM交于点E，PN交CM于点F，设四边形MEPF的面积为S，求S的最大值．

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考点： 面积及等积变换． 301574专题： 探究型． 分析： 连接PM，设DP=x，则PC=4﹣x，根据平行线分线段成比例定理可得三角形的面积公式可得到△MEP及△MPF的表达式，根据S=解答： 解：连接PM，设DP=x，则PC=4﹣x， ∵AM∥OP， ∴=∴=， ，即=， +=，进而可得到=，利用即可得出结论． ∵=且S△APM=AM?AD=1， ∴S△MPE=， ， ﹣=2﹣=2+≤2﹣=， 同理可得，S△MPF=∴S=+=2﹣当x=2时，上式等号成立， ∴S的最大值为：． 故答案为：． 点评： 本题考查的是面积及等积变换，能根据题意作出辅助线，把四边形的面积转化为两个三角形的面积是解答此题的关键．

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参与本试卷答题和审题的老师有：sks；zhjh；lanchong；438011；wdxwzk；ZJX；fxx；Liuzhx；csiya；zhqd；ln_86；自由人；lantin；caicl；蓝月梦；ELSA；workholic；110397；智波；算术；gsls；sjzx（排名不分先后） 菁优网

2013年3月8日

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