2009年湖南省长沙市长郡中学高一自主招生数学试卷(3)

11．（5分）不论m取任何实数，抛物线y=x+2mx+m+m﹣1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是 y=﹣x﹣1 ．

考点： 待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质． 30157422

专题： 计算题． 分析： 将抛物线的方程变形为：y=（x+m）2+m﹣1，由此可得出定顶点的坐标，消去m后即可得出函数解析式． 解答： 解：将二次函数变形为y=（x+m）2+m﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为消去m，得x+y=﹣1． 故答案为：y=﹣x﹣1． 点评： 本题考查待定系数法求函数解析式，突破口在于根据抛物线方程得出顶点坐标．

12．（5分）将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，每个盒子中装有相同颜色的小球．已知： （1）黄盒中的小球比黄球多； （2）红盒中的小球与白球不一样多； （3）白球比白盒中的球少．

则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是 ?? 黄，红，白 ． 考点： 容斥原理． 专题： 证明题． 301574． 分析： 由（2）可以判断出，红盒不装白球，由（3）判断出，白盒不装白球，从而推得黄盒装白球；假设白盒装黄球，由（3）知白球比黄球少，而（1）中，白球比黄球多，矛盾，从而得出白盒装红球，红盒装黄球． 解答： 解：由条件（2）知红盒不装白球，由条件（3）知白盒不装白球，故黄盒装白球． 假设白盒装黄球，由条件（3）知白球比黄球少，这与条件（1）矛盾，故白盒装红球，红盒装黄球．

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www.jyeoo.com 故答案为：黄、红、白． 点评： 本题考查了容斥原理，根据（2）（3）推出其中一个结论，又利用反证法进行证明．

13．（5分）在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为为S1，△COD的面积为S2，则

=

．

，△AOB的面积

考点： 梯形；勾股定理的逆定理；梯形中位线定理． 专题： 计算题． 301574分析： 作BE∥AC，从而得到平行四边形ACEB，根据平行四边形的性质及中位线定理可求得DE的长，根据勾股定理的逆定理可得到△DBE为直角三角形，根据面积公式可求得梯形的高，因为△AOB和△COD的面积之和等于梯形的面积从而不难求解． 解答： 解：作BE∥AC， ∵AB∥CE，∴CE=AB， ∵梯形中位线为6.5， ∴AB+CD=13， ∴DE=CE+CD=AB+CD=13， ∵BE=AC=5，BD=12，由勾股定理的逆定理， 得△BDE为直角三角形，即∠EBD=∠COD=90°， 设S△EBD=S 则S2：S=DO：DB S1：S=OB2：BD2 ∴= 22∵S=12×5×=30 ∴=． 故本题答案为：． 点评： 此题主要考查梯形的性质及中位线定理的综合运用．难度一般，熟练掌握一些基本图形的性质是解答此类题目的关键． 14．（5分）已知矩形A的边长分别为a和b，如果总有另一矩形B，使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，则k的最小值为 考点： 矩形的性质． 301574 ．

专题： 计算题． 分析： 先根据矩形的性质，列出一元二次方程，再利用根的判别式求根即可． 解答： 解：设矩形B的边长分别为x和y 根据题意：

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www.jyeoo.com xy=kab， x+y=k（a+b）， 将y=k（a+b）﹣x代入xy=kab中， x2﹣k（a+b）x+kab=0， 利用一元二次方程求根公式： x=22， △=k（a+b）﹣4kab≥0条件下，x才有解， 由上面这个不等式推出： k≥， ∴k的最小值为． 点评： 本题的关键是利用面积周长比列出方程组成一个一元二次方程，用根的判别式求根的情况．

15．（5分）已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，则x4+x3y+x2y2+xy3+y4= 12499 ． 考点： 因式分解的应用． 301574专题： 计算题． 分析： 本题须先根据题意求出x2+y2和x2y2的值，再求出x4+y4的值，最后代入原式即可求出结果． 解答： 解：x2y+xy2=xy（x+y）=66， 设xy=m，x+y=n， 由xy+x+y=17，得到m+n=17，由xy（x+y）=66，得到mn=66， ∴m=6，n=11或m=11，n=6（舍去）， ∴xy=m=6，x+y=n=11， x2+y2=112﹣2×6=109，x2y2=36 x4+y4=1092﹣36×2=11809 x4+x3y+x2y2+xy3+y4 =11809+6×109+36 =12499． 故答案为：12499 点评： 本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意因式分解的灵活应用． 16．（5分）（2007?天水）如图，已知在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM=45°，则AB的长为

．

考点： 正多边形和圆． 301574分析： 首先得出△CDO为等腰直角三角形，可知CO=CD，在直角三角形OAB中依据勾股定理即可解决． 解答： 解：∵∠POM=45°，∠DCO=90°，

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