更高更妙的物理：专题16 热力学基础(3)

N??N确地和实验结果一致。为了更好地理解热力学现象中的几率问题，下面以气体在真空中的膨胀来说明。

如图所示，设一隔板将容器分成体积相等的A、B两部分，最初A部分中有4个分子，设为a、b、c、d；B部分真空。抽去隔板后，有的分子就可能进入B中，从宏观角度说，就是气体膨胀进入真空。由于分子运动的杂乱性，某一时刻可能A、B中各有2个分子；也有可能A中有3个，B中有1个；也可能

A中1个，B中有3个分子；也有可能四个分子同时回到了A中，如果这时把隔板加上，系统就回到了原来的状态了，此时外界也没有发生什么变化，所以对4个分子来说，气体在真空中的膨胀现象是可逆的。那么这4个分子同时回到A部分的几率是多大呢？即这种可逆

11?。那么当A中气体的分子个数很多时4216123（事实也往往如此），设为n个，那么如上所述的几率应为p?n。若n以10个计的话，

2过程的存在几率有多大呢？不难理解应为p?可见其几率是非常小的，小到了已没有实际意义。即事实上，这种可逆过程的存在的几率是极小的，所以该过程实为一不可逆过程。

又如摩擦生热现象，根据热力学第二定律，也是不可逆的，从统计的角度来看，就是要将摩擦所产生的热全部自动收集起来，全部转化为机械功，这种自发现象的存在几率也是极小的，因此是一不可逆过程。 二、热力学典型问题例析 【例1】定容摩尔热容量CV为常量的某理想气体，经历如图所示的p?V平面上的两个循环过程A1B1C1A1和A2B2C2A2，相应的效率分别为?1和

?2，试比较?1和?2的大小。

W，其中W是气体经循环过程对外Q所做的功，Q为气体从外界吸收的热量。本题A1B1C1A1与A2B2C2A2两个循环过程的功，可

【分析与解】循环过程的效率为??从图中的直角三角形面积所得。在A1B1C1A1循环过程中，A1B1阶段气体对外做功，内能增

大，吸收热量；B1C1为等容降压过程，温度降低，放出的热量为nCV?T（n为气体的摩尔数）；C1A1为等压过程，温度降低，放出的热量为nCp?T?。因此循环过程中的吸热量就是

A1B1过程的吸热量。循环过程A2B2C2A2的情形也类似。

先计算循环过程A1B1C1A1效率，设气体的摩尔数为n。循环过程A1B1C1A1对外所做的功即为图中三角形A1B1C1的面积，为

11W1?(pB1?pC1)(V2?V1)?(pB1?pA1)(V2?V1)。

22式中pB1和pC1分别是理想气体在状态B1和C1时的压强。

又A1B1过程是通过原点的直线，过程的方程可写为p?kV。因此

1k(V2?V1)2。又直线A1B1过程是多方过2??nCV 程，指数为n??1，过程方程式为pV?1?常数，此多方过程的摩尔热容量为C?1?n1?(??1)CV，式中?是气体的绝热指数。 2设A1和B1状态的温度分别为T1和T2，则有

pB1?pA1?k(V2?V1)，代入W1表达式，得W1?pA1V1?nRT1；pB1V2?nRT2，

相减得

T2?T1?1k(pB1V2?pA1V1)?(V22?V12)， nRnR所以A1B1C1A1循环过程中所吸收的热量为

Q1?nC(T2?T1)?可知，A1B1C1A1循环过程的效率为

k(V22?V12)。 nR1k(V2?V1)2WR(V2?V1)； ?1?1?2?Q1kC(V2?V2)2C(V2?V1)21R同理，A2B2C2A2循环过程的效率为

R(V2?V1)。

2C(V2?V1) 以上两式表明，两循环过程的效率与直线A1B1或A2B2的斜率大小无关，而只与C及V1、V2有关，其中C也与直线的斜率无关，因此只要相应的V1和V2相同，效率就相同，所以，

?2?两循环过程的效率相同，即

?1??2。

【例2】在两端开口的竖直U形管中注入水银，水银柱的全长为h。将一边管中的水银下压，静止后撒去所加压力，水银便会振荡起来，其振动周期为T1?2?h；若把管的右端封闭，2g被封闭的空气柱长L，然后使水银柱做微小的振荡，设空气为理想气体，且认为水银振荡时右管内封闭气体经历的是准静态绝热过程，大气压强相当h0水银柱产生的压强。空气的绝热指数为?。⑴试求水银振动的周期T2；⑵求出?与T1、T2的关系式。

【分析与解】右端封闭后，随着水银柱的振荡，被封闭的空气经历绝热膨胀或绝热压缩过程；

封闭端的空气与外界空气对水银柱压力差提供水银柱做微小振动的回复力，本题关注回复力的构成及所循规律。 ⑴如图所示，A、B、C分别表示水银柱处于平衡位置、达到振幅位置时和有一任意小位移y时的三个状态。建立如图坐标，设水银柱位移为y时，封闭气体的压强为py，U形管横截面积为S，水银柱总质量为m，水银密度为?。

对被封闭气体的A、C状态由泊松方程可知

p0(LS)??py?(L?y)S?，

其中 p0??gh0， 得 py?p0??(由于y??L??)?1?p0。

?L?y?hyy??L，上式可近似为py?p0??(1?)??1?p0?(1???1)p0???0?gy。对

LLL??C状态，研究水银柱受到的回复力，回复力F即由高度差为2y的水银柱的重力、内外气体压力的合力提供，以位移y方向为正，即为

F?pyS?p0S?2(?m)g?(py?p0)S?2?ySg???h0h?gyS?2?ySg??(?0?gS?2?Sg)y LLh0?gS?2?S gL得 F??ky。

令 k??可知水银柱的微小振荡为一简谐运动，其周期为

T2?2?m?hSh?2??2?。

hhk?0?gS?2?Sg(2??0)gLL⑵由上述T1和T2，得

h?hT2g(1)2??1?0，

hT22Lh(2??0)gL2L?T12?故 ???()?1?。

h0?T2?【例3】一热机工作于两个相同材料的物体A和B之间，两物体的温度分别为TA和TB（TA?TB），每个物体的质量为m、比热容恒定，均为s。设两个物体的压强保持不变，且不发生相变。

⑴假定热机能从系统获得理论上允许的最大机械能，求出两物体A和B最终达到的温度T0的表达式，给出解题的全部过程。 ⑵由此得出允许获得的最大功的表达式。

⑶假定热机工作于两箱水之间，每箱水的体积为2.50m，一箱水的温度为350K，另一箱水的温度为300K。计算可获得的最大机械能。

已知水的比热容?4.19?10J?kg?K，水的密度?1.00?10kg?m。

【分析与解】⑴为获得最大的机械能，可设热机工作的全过程由n（n??）个元卡诺循

3?1?13?33

环组成，第i次卡诺循环中，卡诺热机从高温热源（温度设为Ti）处吸收的热量为?Q1，后，温度降为Ti?1；在低温热源（温度设为Tj）处放出的热量为?Q2后，温度升高为Tj?1满足

?Q1?Q2。 ?TiTj又 ?Q1?ms(Ti?Ti?1)，?Q2?ms(Tj?1?Tj)， 可知

Ti?Ti?1Tj?1?Tj， ?TiTj令

Ti?Ti?1Tj?1?TjA（n??，A为常数） ??，

TiTjnTi?1ATA?1?，j?1?1?， TinTjn有

nn?ATj?1n?ATi?1nAAAA即 ()?(?1)；()?(1?)，

TinTjnTT得 A?lnA，A?ln0

T0TB所以 T0?TATB。

⑵由卡诺热机的循环过程可知：

W?Q1?Q2?ms(TA?T0)?ms(T0?TB)?ms(TA?TB?2TATB)?ms(TA?TB)2。

⑶根据题意代入数据即可得：

W?2.0?107J。

【例4】已知n（mol）的某理想气体在T?2T0时的定容热

容CV1??nR，在T?2T0时的定容热容CV2??CV1，其中?、

?均为大于1的常量，该气体经历的循环过程ABCDA是如图所示的矩形。⑴试求状态D的温度TD，并画出循环过程中系统内能随温度丁变化的图线；⑵试计算循环过程的效率?。

【分析与解】本题中理想气体所经历的循环过程曲线呈矩形，其中：A?B为等容升压；B?C为等压膨胀；C?D为等容降压；D?A为等压压缩。设A状态参量为p1、V1、T0；B状态参量为p2、V1、2T0；

C状态参量为p2、V2、3T0；D状态参量为p1、V2、TD。

⑴由理想气体状态方程，可知

p22T0p3T，2?0， ?p1TDp1T0得 TD? …… 此处隐藏：2981字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……