5.1 5.2两点边值问题(4)

a(u,v)?(f,v)?0。 对任意 v?U （9）

这和Ritz法导出的方程组（14）一致，因此，习惯上称之为Ritz-Galerkin方法。

Galerkin法还可进一步推广。在U中取两个子空间Un和Vn，其基底分别为?1,?2,及?1,?2,,?n,?n，在Un中求形如

un?使其满足

?c?ii?1n i a(un,vn)?(f,vn),即

对任意vn?Vn （16）

?a(?,?ii?1nj)ci?(f,?j),j?1,2,,n

当Un?Vn时，就是Galerkin法。（16）成为广义Galerkin法，其中Un试探函数空间trial space，

Vn称为检验函数空间Test space。

对于Ritz-Galerkin方程（14），其系数矩阵

?a(?1,?1)a(?2,?1)?a(?,?)a(?,?)1222 A?????a(?1,?n)a(?2,?n)显然，矩阵A对称symmetrical，且

a(?n,?1)?a(?n,?2)??

??a(?n,?n)?

i,j?1?a(?,?)ccijinj?a(?ci?i,?cj?j)?a(un,un)?0

i?1j?1nn从而矩阵A正定，Ritz-Galerkin方程（14）惟一可解。

定理3 设u是变分原理（7）或虚功原理（8）的解，un是Ritz-Galerkin方程（14）的解，则有与u与n无关的常数??0，满足

u?un?1??infu?v1

v?Un如果??i?1于U完全，即??i?1的一切可能的线性组合于U稠密，则进一步得到 limu?unn??1??0

例 利用Ritz-Galerkin方法求解边值问题：

?u''?u??x,0?x?1, ?

?u(0)?u(1)?0本问题有精确解： u*(x)?sinx?x sin1),?i1,2 ,Ritz-Galerkin方法通常选取的子空间有两种，一种其基底选为

i?(x ?i(x)?sin另外一种基底选为

i?1 ?i(x)??(x)x,?i1,2 ,为使?i(x)满足边值条件，取

1x ) ?(x)?x(?将un(x)表成 un(x)??c?(x)?x(1?x)(c?cx?ii12i?1ncnxn?1)

n?1：u1(x)?c1x(1?x)，c1满足方程

11'' c1(?1??1)?1dx??x(1?x)dx

00??2从而得到 c1?5,18u1?5x(1?x) 18，得到Ritz-Galerkin方程： n?2：u2?c1?1?c2?2，f??x代到方程（14）

31?3?c?c??,??10120212 ? ??3c??13c??112?10520?20解得c1?717,c2?，故 36941717?x) 36941u1(x) 0.052 0.069 0.052 u2?x(1?x)( 表1 计算结果比较 x u*(x) 0.044 0.070 0.060 u2(x) 0.044 0.069 0.060 1 41 23 4