5.1 5.2两点边值问题

第一章，边值问题的变分形式 1.1 二次函数的极值

定理1.1 设矩阵A对称正定，则下列两个问题等价： （1）求x0?R使

nJ(x0)?minJ(x)

x?Rn其中

J(x)?1(Ax,x)?(b,x). 2（2）求下列方程组的解： Ax?b 1.2 两点边值问题 1. 弦的平衡

用u?u(x)表示在荷载forcef(x)作用下弦的平衡位置。Balance position of string根据力的平衡条件，u?u(x)满足微分方程

?Tu?f(x),其边值条件为

u(0)?0,其中T为弦的张力。tension

''0?x?l （2）

u(l)?0, （4）

另一方面，由力学的“极小位能原理”，弦的平衡位置u*?u*(x)是在满足（4）的一切可能位置中，使位置能量取得最小者。应变能为strain

1W内 ??T(u')2dx;

20外力f(x)所做的功为work

llW外 ???f?udx,

0从而总位能为

J(u)?W内 ?W外 1??[Tu'2?2uf]dx; 201根据极小位能原理，u*?u*(x)是下列变分问题的解：

J(u*)?minJ(u)

2. 极小位能原理principle of minimum potential energy 变分Variation 问题精确地叙述为：求u*?H0使

1J(u*)?minJ(u) 1u?H0引进微分算子

d2uLu??T2

dx则

ll11d2u1duW内 ?(Lu,u)??(?T2)?udx??T()2dx

220dx20dxlW外 ??(f,u)???fudx

0于是

1J(u)?(Lu,u)?(f,u)

2例如，对于两点边值问题：

Lu??ddu(p)?qu?f,x?(a,b), （10.1） dxdxu'(b)?0 （10.2）

u(a)?0,10其中p?C(I)，p(x)?minp(x)?pmin?0，q?C(I)，q?0，f?H(I)。类似地，

构造泛函

11ddu1J(u)?(Lu,u)?(f,u)???(p)udx??qu2dx??fudx

22adxdx2aa利用分部积分integration by parts，并由（10.2），得到

bbbddududu2du2??(p)udx??pu|b?p()dx?p()dx a??dxdxdxdxdxaaa令

bbbba(u,v)??[padudv?quv]dx （12） dxdx得到

1J(u)?a(u,u)?(f,u)

2问题（10）的变分问题：求u*?HE使

1J(u*)?minJ(u)。 1u?HE可以验证（12）定义的a(u,v)具有两个性质：bilinear form （1）对称性：a(u,v)?a(v,u) symmetry

（2）正定性：a(u,v)??u1 positive definite 对任意u?HE

令

21?(?)?J(u*??v)1 a(u*??v,u*??v)?(f，u*??v)21??2=a(u*,u*)?[a(u*,v)?a(v,u*)]?a(u*,v)?(f,u*)??(f,v)222?从而

u??a[u( ?(?)?J(*)*v,?)f(v,?)]22?2a , ) （14） *u ( v变分原理：设f?C(I)，u*?C是边值问题（10）的解，则u*使J(u)达到极小值；

21反之，若u*?C?HE使J(u)达到极小值，则u*是边值问题（10）的解。

21证明：注意当u*?C?HE时，

a(u*,v)?(f,v)b??[padu*dv?qu*v?fv]dxdxdxb （16） du*bdu*d?pva??[?(p)?qu*?f]vdxdxdxdxab'??[Lu*?f]vdx?p(b)u*(b)v(b)a'如果u*是边值问题（10）的解，则Lu*?f?0,u*(b)?0，从而

'1 ?(0)?a(u*,v)?(f,v)?0， 对任意v?HE

由（14），有

J(u*??v)?J(u*)??22a(v,v)?J(u*)

这说明u*使J(u)达到极小值。

反之，若u*使J(u)达到极小值，则由（14）及（16），得

b

?(0)?a(u*,v)?(f,v)??[Lu*?f]vdx?p(b)u*'(b)v(b)?0, 对任意v?H1E （18）

'a?取v?C0(I)，则

b

?v?C(I) ， 对任意[Lu?f]vdx?00?*a根据变分法基本原理，u*满足方程 Lu*?f?0， 所以，（18）化为

'1 p(b)u*(b)v(b)?0 对任意v?HE

注意p(b)?0，取v(x)?x?a，则v?HE，且v(b)?0，从而u*必须满足右边边值条件

' u*(b)?0

13. 虚功原理principle of virtual work

以v乘以方程（10.1）的两端，再积分，得到

bb [Lu?f]vdx?a??a?[ddu （20） p(v)?quv?fvdx]? 0dxdx利用分部积分，得到

ddudududvdudv ??(p)vdx??pv|b?pdx?pdx a??dxdxdxdxdxdxdxaaa代到（20），得到

bbbb [pa?dudv?quv?fv]dx?0 dxdx即

a(u,v)?(f,v)?0 （22） 这是方程（10）的变分形式。

211对u*?C?HE，v?HE，由（16），得到

b a(u,v)?(f,v?)?a[L?uf]v?dx1'(p)bu( )b(v)b11u满足u?HE假如u是边值问题（10）的解，则对任意v?HE，（22）；反之，若对任意v?HE，

满足（22），则可按前边变分原理的证明，推出u是边值问题（10）的解。

定理 设u?C是边值问题（10）的解的充要条件是：u?HE且满足变分方程

21a(u,v)?(f,v)?0。

5.3 二阶椭圆边值问题 1. 变分原理

考虑Poisson方程的第一边值问题：

? ????u??2u?2u?x2??y2?f(x,y),(x,y)?G, ??u|??0作泛函functional J(u)?12(??u,u)?(f,u)?12?(??u)udxdy??f?udxdy GG利用Green公式，我们得到

??u)vdxdy?G?(?(?u?v?u?G?x?x?v?y?y)dxdy???u?vds ??n若u,v满足边值条件，则

(??u)vdxdy?G??(?u?v?uG?x?x??v?y?y)dxdy 定义双线性形式

a(u,v)?(u?v?u?G???x?x?v?y?y)dxdy 则

J(u)?12a(u,u)?(f,u) 变分问题：求u1*?H0(G)，使 J(u*)?minJ(u)

u?H10(G)双线性形式a(u,v)具有如下性质：

（1）