5.1 5.2两点边值问题(3)

来源：网络收集时间：2026-05-19

导读： a(u*,u)?(f,u)?(??u*?f,u) 若u是问题（1）的解，则 1?'(0)?a(u*,u)?(f,u)?(??u*?f,u)?0 ，对任意 u?H0(G) 从而 J(u*??u)?J(u*)??221(G) a(u,u)?J(u*)，对任意 u?H0即u*使J(u)达到极� Ｗ芙岢上旅娴募∥荒茉怼

a(u*,u)?(f,u)?(??u*?f,u)

若u是问题（1）的解，则

1?'(0)?a(u*,u)?(f,u)?(??u*?f,u)?0 ，对任意 u?H0(G)

从而

J(u*??u)?J(u*)??221(G) a(u,u)?J(u*)，对任意 u?H0即u*使J(u)达到极小。总结成下面的极小位能原理。

2 定理1 设u*?C(G)是边值问题（1）的解，则u*使J(u)达到极小值；反之，若1u*?C2(G)?H0(G)使J(u)达到极小值，则u*是边值问题（1）的解。

2. 虚功原理principle of virtual work

考虑混合边值问题。在?1上满足 u|?1?0 在?2上满足

?u??u|?2?0,?n??0

以v乘（1.1）两端multiply by，得到

G?[(??u)v?fv]dxdy?0 （6）

利用边值条件，得到

?u?v?u?v?u??uv??uv(??u)vdxd?y(?)dx?dy?vds(?)?dxdy ??????x?x?y?y?n??xx??yy?2GG?G定义双线性形式：

auvdsa(u,v)??(G?u?v?u?v?)dxdy??auvds ?x?x?y?y?2则（6）可写成

a(u,v)?(f,v)?0。

定理2 设u?C(G)是上述边值问题的解的充要条件是：u?HE且满足变分方程

1 a(u,v)?(f,v)?0。对任意 v?HE215.3 Ritz-Galerkin方法

思想：有穷空间维近似代替无穷维空间。

变分原理：求u*?U，使

J(u*)?minJ(u) （8）

u?U其中U为某类内积空间。

虚功原理：u?U满足变分方程

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