5.1 5.2两点边值问题(2)

（1） 对称性： a(u,v)?a(v,u) symmetry （2） 正定性：对u?H0(G)有

1a(u,v)??u1

对u*,u?H0(G)，令

12u) ?(?)?J(*??u

易算出

?(?)?J(u*)??[a(u*,u)?(f,u)]?21进一步，假设u*?C(G)?H0(G)，则

?22a(u,u)

a(u*,u)?(f,u)?(??u*,?f,u)

若u是问题（1）的解，则

1?'(0)?a(u*,u)?(f,u)?(??u*?f,u)?0 ， 对任意 u?H0(G)

从而

J(u*??u)?J(u*)??221(G) a(u,u)?J(u*)， 对任意 u?H0即u*使J(u)达到极小。总结成下面的极小位能原理。

2 定理1 设u*?C(G)是边值问题（1）的解，则u*使J(u)达到极小值；反之，若1u*?C2(G)?H0(G)使J(u)达到极小值，则u*是边值问题（1）的解。

2. 虚功原理principle of virtual work

考虑混合边值问题。在?1上满足 u|?1?0 在?2上满足

?u??u|?2?0,?n??0

以v乘（1.1）两端multiply by，得到

G?[(??u)v?fv]dxdy?0 （6）

利用边值条件，得到

?u?v?u?v?u??uv??uv(??u)vdxd?y(?)dx?dy?vds(?)?dxdy ??????x?x?y?y?n??xx??yyGG?G?2定义双线性形式：

auvdsa(u,v)??(G?u?v?u?v?)dxdy??auvds ?x?x?y?y?2则（6）可写成

a(u,v)?(f,v)?0。

定理2 设u?C(G)是上述边值问题的解的充要条件是：u?HE且满足变分方程

1a(u,v)?(f,v)?0。 对任意 v?HE

215.3 Ritz-Galerkin方法

思想：有穷空间维近似代替无穷维空间。

变分原理：求u*?U，使

J(u*)?minJ(u) （8）

u?U其中U为某类内积空间。

虚功原理：u?U满足变分方程

a(u,v)?(f,v)?0。 对任意 v?U （9）

这和Ritz法导出的方程组（14）一致，因此，习惯上称之为Ritz-Galerkin方法。

Galerkin法还可进一步推广。在U中取两个子空间Un和Vn，其基底分别为?1,?2,及?1,?2,,?n,?n，在Un中求形如

un??c?ii?1n i使其满足

a(un,vn)?(f,vn),即

对任意vn?Vn （16）

?a(?,?)ciji?1ni?(f,?j),j?1,2,,n

当Un?Vn时，就是Galerkin法。（16）成为广义Galerkin法，其中Un试探函数空间trial space，

Vn称为检验函数空间Test space。

对于Ritz-Galerkin方程（14），其系数矩阵

?a(?1,?1)a(?2,?1)?a(?,?)a(?,?)1222 A?????a(?1,?n)a(?2,?n)显然，矩阵A对称symmetrical，且

a(?n,?1)?a(?n,?2)??

??a(?n,?n)?ni,j?1?a(?,?)ccijinj?a(?ci?i,?cj?j)?a(un,un)?0

i?1j?1n从而矩阵A正定，Ritz-Galerkin方程（14）惟一可解。

定理3 设u是变分原理（7）或虚功原理（8）的解，un是Ritz-Galerkin方程（14）的解，则有与u与n无关的常数??0，满足

u?un?1??infu?v1

v?Un如果??i?1于U完全，即??i?1的一切可能的线性组合于U稠密，则进一步得到 limu?unn??1??0

例 利用Ritz-Galerkin方法求解边值问题：

?u''?u??x,0?x?1, ?

?u(0)?u(1)?0本问题有精确解： u*(x)?sinx?x sin1),?i1,2 ,Ritz-Galerkin方法通常选取的子空间有两种，一种其基底选为

i?(x ?i(x)?sin另外一种基底选为

i?1 ?i(x)??(x)x,?i1,2 ,为使?i(x)满足边值条件，取 ?(x)?x(?1x )将un(x)表成 un(x)??c?(x)?x(1?x)(c?cx?ii12i?1ncnxn?1)

n?1：u1(x)?c1x(1?x)，c1满足方程

11'' c1(?1??1)?1dx??x(1?x)dx

00??2从而得到 c1?5,18u1?5x(1?x) 18，得到Ritz-Galerkin方程： n?2：u2?c1?1?c2?2，f??x代到方程（14）

31?3?c?c??,??10120212 ? ??3c??13c??112?10520?20解得c1?717,c2?，故 36941717?x) 36941u1(x) 0.052 0.069 0.052 u2?x(1?x)( 表1 计算结果比较 x u*(x) 0.044 0.070 0.060 u2(x) 0.044 0.069 0.060 1 41 23 4

5.3 二阶椭圆边值问题 1. 变分原理

考虑Poisson方程的第一边值问题：

??2u?2u???u?2?2?f(x,y),(x,y)?G, ? （1） ?x?y?u|?0??作泛函functional J(u)?11(??u,u)?(f,u)??(??u)udxdy??f?udxdy 22GG利用Green公式，我们得到

G?(??u)vdxdy??(G?u?v?u?v?u?)dxdy???vds ?x?x?y?y?n?若u,v满足边值条件，则

G?(??u)vdxdy??(G?u?v?u?v?)dxdy ?x?x?y?y定义双线性形式

a(u,v)?(G??u?v?u?v?)dxdy ?x?x?y?y则

J(u)?1a(u,u)?(f,u) 21变分问题：求u*?H0(G)，使 J(u*)?minJ(u)

1u?H0(G)双线性形式a(u,v)具有如下性质： （1） 对称性： a(u,v)?a(v,u) symmetry （2） 正定性：对u?H0(G)有

1a(u,u)??u1

对u*,u?H0(G)，令

12u) ?(?)?J(*??u

易算出

?(?)?J(u*)??[a(u*,u)?(f,u)]?21进一步，假设u*?C(G)?H0(G)，则

?22a(u,u)