2019年广西省桂林高中名校高三上学期第三次月考理科数学试卷（含(3)

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所以OC?AD,OP?AD,又OCOP?O,OC,OP?平面POC,

所以AD?平面POC,又PC?平面POC,所以AD?PC, 因为BC//AD,所以BC?PC。…………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知PO?AD,又平面PAD?平面ABCD, 平面PAD平面ABCD?AD,

PO?平面PAD,所以PO?平面ABCD.…………6分

以O为原点,建立空间直角坐标系O?xyz如图所示, …………7分 则P0,0,3,A?0,?1,0?,D?0,1,0?,Cz P M A O C x D y

???3,0,0,

B ??由PM??PC???所以AM??3?,1,PC??3,0,?3

3,0,?3可得点M的坐标为3?3?,DM???3?,0,3?3?,

???3?,?1,3?3?,

??3?x?y??n?AM?0?设平面MAD的法向量为n??x,y,z?,则?,即??n?DM?0???3?x?y????3?3?z?03?? 3??z?0??1?z?x?解得??,令z??,得n????1,0,??,…………8分

??y?0显然平面PAD的一个法向量为OC?依题意cosn,OC??3,0,0,…………9分

?n?OCnOC?3???1??2????1??32?25,………… 10分 5解得??所以,当??1或???1(舍去), ………… 11分 3125时,二面角P?AD?M的余弦值为.………… 12分 3520.解: （Ⅰ）p?2 ………… 3分

（Ⅱ）①设A?x1,y1?,B?x2,y2?,则C?x1,?y1?,M?x1,y2?, 直线l1的方程为：y?k1x?b…………4分

?y?k1x?b222由?2消元整理可得：k1x??2bk1?4?x?b?0 ?y?4x4?2bk1?x?x?2?1k12?所以 ? ………… 5分 2?xx?b12?k12?4?y?y?2?1k1?可求得：?

?yy?4b12?k1??y?y2?直线l2的方程为：y?y1?k2(x?x1) 所以可求得N?1?…………6分 ?x,y12??k2??所以MN=

y1?y24==4………… 7分 k2k1k2?2?bk12? ………… 8分

?k2,k??1??12?bk1?21?则AB的中垂线方程为：y????x? ?2??k1k1?k1?② AB的中点E??2k12?bk1?2?与BC的中垂线x轴交点为：o?? ………… 9分 ,0?2??k1??所以?ABC的外接圆的方程为：

?2k12?bk1?2?2k12?bk1?2222??x??y?(?x)?y…………10分 2222??k1k1??由上可知N?x1?4,y2?

22k12?bk1?22k12?bk1?22k12?bk1?2?x1?4??x2??x1?x2?4??2?0 222k1k1k1?2k12?bk1?2?2k12?bk1?2222 ………… 11分 ???x?4??y?(?x)?y1222??2?k2?k211所以A,B,C,N四点共圆. ………… 12分

21.解：?1?f??x??1xx?e?a1分由已知得f??1??0?1?e1?a?0?a??12分此时f??x??1xx?e?1①当0?x?1时，1x?1,ex?1?e0?1?f??x??0

?f?x?在?0,1?上递增4分②当x?1时,1?1,ex?1?e0x?1?f??x??0?f?x?在?1,???上递减6分?2?f?x?定义域为?0，???当a??2时，ex?a?ex?2?f?x??lnx?ex?a?lnx?ex?27分令g?x??lnx?ex?28分则g??x??1x?x?e2g???x???1?2x2?ex?0?g??x?在?0,???上递减

又g??1??1?e?1?0,g??2??12?e0?0?g??x?在?1,2?上有唯一零点x010分?1?ex0?2?0?lnx?21x0??x0?2,ex0?0x0?当0?x?x0,g??x??0?g?x?在?0,x0?上递增 当x?x0,g??x??0?g?x?在?x0,???上递减g?x??21max?g?x0??lnx0?ex0??x0?2?x0????1?1?x0?x??2??2x0??2?0

0?x0?当a??2时，f?x??0.11分?当a??2时，f?x?在定义域内无零点.12分22.解：(I)连接BD,OD,?CB,CD是圆O的两条切线， ?BD?OC，

??ODB??DOC?90?,又?AB为圆O的直径，

?AD?DB，

??ADO??ODB?90???DOC??ODA,

?AD//OC,即得证，………… 5分 (II)AO?OD,??DAO??DOC, ?Rt△BAD∽Rt△COD，

AD?OC?AB?OD?8。 …………10分

?x?3?2cos?23.解：（I）圆C的参数方程为?（?为参数）

?y??4?2sin?所以普通方程为(x?3)?(y?4)?4

22?圆C的极坐标方程：?2?6?cos??8?sin??21?0…………5分

|2cos??2sin??9|（II）点M(x,y)到直线AB：x?y?2?0的距离为d?2

1?△ABM的面积S??|AB|?d?|2cos??2sin??9|?|22sin(??)?9|

24所以△ABM面积的最大值为9?22………… 10分 24.解：（Ⅰ）因为f(x)?k?x?3，所以f(x?3)?0等价于x?k

由x?k有解，得k?0，且其解集为x?k?x?k 又f(x?3)?0的解集为??1,1?，故k?1 ………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知

??又a,b,c是正实数，

由均值不等式得

111???1a2b3c

111aa2b2b3c3ca?2b?3c?(a?2b?3c)(??)?3???????a2b3c2b3ca3ca2ba2ba3c2b3c 3?(?)?(?)?(?)?3?2?2?2?92ba3ca3c2b当且仅当a?2b?3c时取等号。 也即a?

1923b?c?1………… 10分99

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