群的阶与群中元素的阶的关系(6)

石

S３ 的

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6个元是(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)．它们的阶是1或2或3．而

整数1、2、3都整除整数6．这当然验证了著名的Lagrange定理．

4.1.2 相关结论

运用拉格朗日定理，我们可得以下几个较好的结论． 结论7．阶为素数的群为循环群．

证 不妨假设|G|=P(P为素数)．任取元素a(a?e)，则由Lagrange定理可知，

a|P.又因为a?1，所以a?P.所以G??a?,为循环群，证毕．

结论8．阶为Pm的群（P为素数）一定包含一个阶为P的子群.． 证 任取一元素a(a?e)，假设|a|=n，则由Lagrange定理可知，

n|P，又由于P为素数，所以n?P(1?j?m)．

mj若j=1，则n=P．就是群的一个P阶子群． 若j>1，则

e?a故|aP(j-1)Pj?(aP(j-1))?e．

p|?P,所以?aP(j-1)?就是G的一个P阶子群.证毕．

结论9．阶为6的交换群必为循环群．

证 不妨假设|G|=6，任取G中元素a(a?e)，设|a|=m，则由Lagrange定理可知，m|6．所以m可取2或3或6．

①若m=6，则G=是循环群．

②若m=2，则为G的一个2阶循环子群．但由于G为交换群，故G?a?作成一个商群，由于|G?a?|?3，由结论7可知群G?a?为一个循环群．

故可设G?a???b?，其中|b|?3.由于|b|?1，|b|也不为2（否则，有(b)?e,从而23|2.矛盾).则由Lagrange定理可知，|b|=3或者6．

若|b|=6，则G=为循环群．

若|b|=3，则由于|a|=2，而(2，3)=1，故由结论3可知，|ab|=6，从而G=为循环群．

③若m=3，由于2和3的地位一样，所以②的讨论包含了③的讨论． 总之，G为循环群．

容易验证该结论条件中的交换群是必要的．因为例5中的三次对称群的阶为6，但其不是交换群，并且它不是循环群，因为其中没有阶为6的元素．

有了这个结论，我们很容易得下面的推论．

推论：pq阶交换群必为循环群，其中p, q为互异素数．

证 因为|G|=pq，任取G中元素a(a?e)，设|a|=m，则由Lagrange定理可知，m|pq．所以m可取p或q或pq．

①若m=pq，则G=是循环群．

②若m=p，则为G的一个p阶循环子群．但由于G为交换群，故G?a?作成一个商群，由于|G?a?|?q，由结论7可知群G?a?为一个循环群．

故可设G?a???b?，其中|b|?q.由于|b|?1，|b|也不为p（否则，有(b)?e,从而p

q|p.矛盾）．则由Lagrange定理可知，|b|=pq或者q．

若|b|=pq，则G=为循环群．

12

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若|b|=q，则由于|a|=p，而(p，q)=1，故由结论3可知，|ab|=pq，从而G=为循环群．

③若m=q，由于p和q的地位一样，所以②的讨论包含了③的讨论．有兴趣的读者可再推导一次，增强自己的推理能力．

总之，G为循环群．

结论10．在循环群中，除去单位元外，其余元素的阶都相同且有限当且仅当该循环群的阶为素数．

证 ?设|G|?P(P 为素数,为G循环群，不)妨设G??a则?,|a?|．P则由结论2可知， |a|??iP(P,i)?P (i?1,2,?P-1).故得证.

i)设G为循环群，且G的阶为合数，即|G|?M?N(M,N均为大于1的正M数）.又不妨设G??a?,则|a|?M?N,由结论2可知，|a |?N.这就与题设矛盾.ii)设G为循环群，且G的阶为?，则由结论5知,G同构于整数加群.而在整数加群中,除去单位元1的阶为1外,其余元素的阶均为无限.由同构可知,G也由此性质,故与题设矛盾.

4.2 有限交换群的结构定理

本节我们将看到非常漂亮完整的有限交换群的结构定理．由此，我们将具体地理解到什么是群的结构理论．在本节中G表示交换群，群的运算记作加法“+”，简称加群．

4.2.1 有限交换群的结构定理

前面我们有了内直和与外直积的定义，下面来简要介绍有限交换群的结构定理．由于篇幅问题，我们不作证明，供读者欣赏，有兴趣的读者可见参考文献[4]．

定理6．（有限交换群的结构定理）：有限交换群G可唯一分解为素数幂循环群的直和，若|G|?p1mp2m?ptm，pi是不同素数，则

12t1)G?G11???G1s1???Gt1???Gtst，其中Gij是阶为piij的循环群；

m2)自然数集　(p111，?p1mm1s1，?，ptt1，?ptmmtst)由群G唯一确定.

这是一个很值得玩味的结构定理．读者可以把它和算术基本定理相比．那里表示任意整数的基本构件是“素数”，构造方法是“乘积”，而这里则是：表示有限加群的基本构件是“素数幂阶的循环群”，构造方法是“直和”．在整数论中，自然数n的分解是

mmmn?p1p2?pt，

12t则在交换群论中，有限加群G的阶n的分解将是

．

如果把n的因数和G的子群相类比，我们可以容易地证明下面的推论．有兴趣的读者可以证明一下．

推论：G是有限加群，|G|=n，而m|n，则G中必有阶为m的子群．

n?p1?p11m11m1s?ptmt1?ptmtst13

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4.2.2 相关例子

m我们称每个pi为群G的初等因子，而其全体{p1m，?p1，?，pt，?pt的初等因子组．

例12．在同构的意义下, 给出所有8阶交换群．

3解 用Cn表示n阶循环群.由于8?2,故

111t1mijm1smtst}为群

8阶交换群3个，即

{2},C8,3{2,2},C2?C4,2{2,2,2} C2?C2?C2

从而相应地，在同构意义下8阶交换群共有3个，即

另外，对于8阶群，我们这儿举一个非交换群的例子． 设Ａ是由以下8个矩阵所组成的集合．

?1???0?i???00??,1?0??,?i??0???1?0???i?1??,0?i?2?.(其中i??1)0?

规定Ａ里面的乘法为普通乘法，则Ａ对于该乘法显然满足G1—G4，做成一个群．但它是一个非交换群．因为

?0??ii??0???0??1?1??i???0??00??i????i??00??0????i??1?1??0???0???i?i??0?．

例13．在同构的意义下，利用不变因子给出所有72阶交换群． …… 此处隐藏：977字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……