群的阶与群中元素的阶的关系(4)

石家庄铁道学院毕业论文

Na=aN

由于一个不变子群的左陪集与右陪集相同，所以我们可以称一个不变子群N的一个左（或）右陪集叫做N的一个陪集．显然，对于Abel群来说，每一个子群都是一个不变子群．

我们看一个群G的不变子群N．把N的所有陪集做成集合

S?{aN，bN，cN?} 我们说，法则

(xN)(yN)=(xy)N

是一个乘法．要看清这一点，我们只须证明，两个陪集xN和yN的乘积与x和y的选择无关．让我们看一看：

假定 xN= x’N，yN= y’N 那么 x?x'n1，y?y'n2，(n1，n2?N) xy?x'n1y'n2

但由于N是不变子群，n1y'?Ny'?y'N 所以 n1y'?y' n3(n3?N).

所以xy?x'y'(n3n2)，即xy?x'y'N，所以我们有xyN?x'y'N．

定理2．一个不变子群的陪集对于上边规定的乘法来说做成一个群． 证 我们证明不变子群的陪集满足群的定义G1—G4． G1) 由上边规定的乘法来说是显然的; G2) (xNyN)zN =[(xy)N] zN =(xyz)N xN(yNzN)= xN [(yz)N]= (xyz)N G3) eNxN=(ex)N=xN

-1-1G4) xNxN?( xx)N?eN．

由G1—G4可知，一个不变子群的陪集对于上边规定的乘法来说做成一个群．

一个群的一个不变子群N的陪集所做成的群叫做一个商群．这个群我们用符号GN来表示．

2.2.2 Cayley(凯莱)定理

对于同构，我们有下面的一个有趣的Cayley定理．有了它，我们可以只研究变换群了．

定理3．Cayley(凯莱定理) 任何一个群都同构于一个变换群．

证明:假定G是一个群，G的元a，b，c，?．我们在G里任取一个元x出来，那么

?x：是集合G的一个变换.g?gx?g?x?x因为给了G的任意元g,我们能够得到一个唯一的G的元g.这样由G的每一个元x,可以得到G的一个变换?x.我们把所有这样得来的G的变换放在一起,作成一个集合G?{?a,?b,?c,?}那么?:若x?y,x??x是G到G的满射.但消去律:x?y?gx?gy那么?x??y所以?是G与G间的一一映射.g?xy

告诉我们,再进一步看,?g?x?y?g(xy)?(gx)y?(g?x)y?(g?x)?y7

石

这即是说,家庄铁?x?y??xy道学院毕业论文

所以?是G与G间的同构映射,所以G是一个群,但G的单位元e的象?e:g?ge?g

是G的横等变换?,所以G是G的变换群.且G与G的变换群G同构.这个定理告诉我们, 任意一个抽象群都能够在变换群里找到一个具体的实例． 2.2.3 内直和和外直积的定义

设子集H?{h1,?ht}?G，而规定

Z?H?{n1?h1???nt?ht|ni?Z，1?i?t}，易见Z?H??H?，即Z?H就是由H生成的子群，并且当H?{g1， ?gt}是群G的生成元集时，G?Z?H?Z?g1???Z?gt.