2004年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学(2)

21．（本小题满分12分）

若函数f(x)?1312x?ax?(a?1)x?1在区间（1，4）内为减函数，在区间 32（6，+∞）上为增函数，试求实数a的取值范围.

22．（本小题满分14分）

给定抛物线C：y?4x,F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点.

2（Ⅰ）设l的斜率为1，求OA与OB夹角的大小；

（Ⅱ）设FB??AF,若??[4,9]，求l在y轴上截距的变化范围.

2004年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案

一、选择题

C A B C A C D B D B B C

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

x21?y2?1 16．②④ 13．? 14．5 15．22三、解答题

17．本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质，考查运算能力，满分12分. 解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意得方程组

?a1?d?9, ? 解得a1?5,d?4.

a?4d?21,?1 所以{an}的通项公式为an?4n?1.

4n?1,所以{bn}是首项b1?25，公式q?24的等比数列. （Ⅱ）由an?4n?1得bn?225?(24n?1)32?(24n?1)?. 于是得{bn}的前n项和 Sn?4152?118．本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力，

满分12分. （Ⅰ）证明：?sin(A?B)?31,sin(A?B)?, 552,tanA5??2. 1tanB53??sinAcosB?cosAsinB?,sinAcosB?????5?????sinAcosB?cosAsinB?1.?cosAsinB???5??所以tanA?2tanB.

33?A?B??，sin(A?B)?,?tan(A?B)??, 254tanA?tanB3 即?? ，将tanA?2tanB代入上式并整理得

1?tanAtanB4（Ⅱ）解：? 2tanB?4tanB?1?0.

解得tanB?2?2?62?6，舍去负值得tanB?， 22 ?tanA?2tanB?2?6. 设AB边上的高为CD. 则AB=AD+DB=

CDCD2CD??. tanAtanB2?6由AB=3，得CD=2+6. 所以AB边上的高等于2+6.

19．本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用 数学知识解决问题的能力，满分12分.

13C5C51（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为 4?4?.

C8C87故有一组恰有两支弱队的概率为1?16?. 77C32C52C32C526解法二：有一组恰有两支弱队的概率??. 447C8C831C32C52C3C51（Ⅱ）解法一：A组中至少有两支弱队的概率 ??

2C84C84 解法二：A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A组和B组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有两支弱队的概率为.

20．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.

满分12分.

解法一：（Ⅰ）如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=2.

∵CB=CA1=2，∴△CBA1为等腰三角形，

又知D为其底边A1B的中点，

∴CD⊥A1B. ∵A1C1=1，C1B1=2，∴A1B1=3

又BB1=1，A1B=2. ∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点， ∴CD=

12211A1B=1，CD=CC1，又DM=AC1=，DM=C1M.

222 ∴△CDM≌△CC1M，∠CDM=∠CC1M=90°，即CD⊥DM.

因为A1B、DM为平在BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM. （Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，则FG//CD，FG= ∴FG=

1CD. 21，FG⊥BD. 21A1B=1， 2 由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D知BD=B1D= 所以△BB1D是边长为1的正三角形. 于是B1G⊥BD，B1G=

3. ∴∠B1GF是所求二面角的平面角， 2223)=， 22 又 B1F2=B1B2+BF2=1+（

?B1GF? ∴ cosB1G?FG?B1F?2B1C?FG222(3213)?()2?222??3.

3312??22 即所求二面角的大小为??arccos解法二：如图，以C为原点建立坐标系.

3. 3（Ⅰ）B（2，0，0），B1（2，1，0），A1（0，1，1），

D（2,1,1)，M（2，1，0），

2222CD?(211,,),A1B?(2,?1,?1),222 11DM?(0,,?),22

则CD?A1B?0,CD?DM?0, ∴CD⊥A1B，CD⊥DM.

因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM. （Ⅱ）设BD中点为G，连结B1G，则

G（

3211211231,,）,?,), ，BD?(?、、），B1G?(?444244422?BD?B1G?0,?BD?B1G.又CD?BD,?BD与B1G的夹角?等于所求的二面角的平面角.

?cos??CD?B1G|CD|?|B1G|??3. 33. 3所以所求的二面角等于??arccos21．本小题主要考查导数的概念的计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运 用数学知识解决问题的能力.满分12分. 解：函数f(x)的导数 f?(x)?x?ax?a?1. 令f?(x)?0，解得

2x?1或x?a?1.当a?1?1即a?2时,函数f(x)在(1,??)上是增函数,不合题意当a?1?1即a?2时,函数f(x)在(??,1)上为增函数,在(1,a?1)内为减函数,在(a?1,??)为增函数.

依题意应有 当x?(1,4)时,f?(x)?0,当x?(6,??)时,f?(x)?0. 所以 4?a?1?6. 解得5?a?7.

所以a的取值范围是[5，7]. 22．本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。

满分14分。

解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为y?x?1.

2将y?x?1代入方程y?4x，并整理得 x?6x?1?0.

2设A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1?x2?6,x1x2?1.

OA?OB?(x1,y1)?(x2,y2)?x1x2?y1y2?2x1x2?(x1?x2)?1??3.

22|OA||OB|?x12?y12?x2?y2?x1x2[x1x2?4(x1?x2)?16]?41.

cos(OA,OB)?OA?OB314??.

|OA||OB|41314. 41所以OA与OB夹角的大小为??arccos（Ⅱ）由题设FB??AF 得 (x2?1,y2)??(1?x1,?y1), 即??x2?1??(1?x1),

y???y1.?2222① ②

222由②得y2??y1， ∵ y1?4x1,y2?4x2, ∴x2??x1.③

联立①、③解得x2??，依题意有??0.

∴B(?,2?),或B(?,?2?),又F（1，0），得直线l方程为 (??1)y?2?(x?1)或(??1)y??2?(x?1), 当??[4,9]时，l在方程y轴上的截距为

2?2?或?, ??1??1由

2?2?2?2在[4，9]上是递减的， ??, 可知

??1??1??1??1∴

32?442?3??,?????, 4??133??14直线l在y轴上截距的变化范围为[?

4334,?]?[,]. 3443