直线与圆锥曲线的综合问题 高考数学(4)

2.存在性问题

【例2】已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B(0，?1)，且其右焦点到直线x?y?22?0的距离为3.?1?求椭圆的方程；3?2?是否存在斜率为k(k?0)，且过定点Q(0，)的直线l，使l与椭圆交于不同的两个2点M、N，且|BM?BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．x2y2解析：?1?设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，由已知得b?1，设右焦点为(c,0)，abx2由题意得?3，得c?2，所以a?b?c?3，得椭圆方程为?y2?1. 323x215?2?设直线l的方程为y?kx?，代入?y2?1，得(1?3k2)x2?9kx??0，234?9k设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1?x2?，设MN的中点为P，1?3k2222c?22?9k3，)，因为|BM?BN|，所以点B在线段MN的中垂线上，2?6k22?6k23?112?6k225所以kBP???，化简得k2?，又由??0得，k2?，?9kk31222?6k25663因为?，所以k??.故存在直线l满足题意，l的方程为y??x?.312332【变式训练2】设直线l与抛物线y2?2px?p?0?交于A、B两点，已知当直线l经过则P点的坐标为(1抛物线焦点且与x轴垂直时，OAB的面积为(O为坐标原点)．2?1?求抛物线的方程；

?2?当直线l经过点P?a,0??a?0?且与x轴不垂直时，若在x轴上存在点C，使得ABC为正三角形，求a的取值范围．p1p解析：?1?由条件可得AB?2p，又O点到AB的距离为，SOAB??2p?22211?p2?，所以p?1，因此抛物线的方程为y2?2x.22?2?设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，又设C?t,0?，直线l：

?x?my?ay?y2x?my?a(m?0)，由?2，所以y2?2my?2a?0，所以y0?1?m，y?2x2?所以x0?m2?a，因为ABC为正三角形，所以MC?AB，MC?由MC?AB，得y01??1，x0?tm3AB，2

11

332AB，得?x0?t?2?y0??x1?x2?2??y1?y2?2，223化简得?m2?a?t?2?m2??m2?1??4?m2?2a?，因此可得1?m2?2

21m13?m2?1??m2?2a?，所以a??，因为m?0，所以m2?0，所以0?a?，6261所以a的取值范围为(0，)．6所以t?m2?a?1.又MC?3.综合问题

【例 3】(2011浙江卷)已知抛物线C1：x2?y，圆C2：x2??y?4??1的圆心为M.2?1?求点M到抛物线C1的准线的距离；

?2?已知点P是抛物线C1上一点(异于原点)，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线 l垂直于AB，求直线l的方程．1解析：?1?因为M?0,4?，且2p?1，所以准线方程为y??，因此点M到准线4

117的距离为4??.44?2?设P(m，m2)，A(x1，x)，B(x2，x)，kAB?x1?x2，kPM2122m2?44??m?，mm因为PM?AB，则kPM?kAB??1，所以?x1?x2?(m?4)??1.m设过P点且与圆C2相切的直线的斜率为k，则过P的圆的切线方程为y?m2?k?x?m?，|m2?km?4|1?k222由圆心?0,4?到切线的距离为1，得1?所以k?1?km??4?m22222，2222??2km?4?m?，k?m?1??2m?4?m?k?1??m?4??0， 12

?2m(4?m2)所以k1?k2?，设切线y?m2?k1?x?m?，则x2?k1?x?m??m2?0，2m?1所以m?x1?k1，设切线y?m2?k2?x?m?，则x2?k2?x?m??m2?0，所以m?x2?k2，所以x1?x2?k1?k2?2m，代入?x1?x2?(m?4)??1，m4m2?4423得?k1?k2?2m?(m?)??1，所以2m(2?1)(m?)??1，所以m2?，mm?1m53223m?43115m??，kPM??5，故所求的直线方程为y??x?4.5m11523?5x2y2【变式训练3】已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1(?c,0)、F2(c,0)．abQ是椭圆外的动点，满足|F1Q|?2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PT?TF2?0，|TF2|?0.?1?求点T的轨迹C的方程；?2?试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使?F1MF2的面积S?b2？若存在，求?F1MF2的正切值；若不存在，说明理由．解析：|TF2|?0，所以PT?TF2，?1?设T(x，y)，因为PT?TF2?0， 1则T为线段QF2的中点，连结OT，OT为?F1F2Q的中位线，则|OT|?|QF1|?a，2即点T的轨迹方程为x2?y2?a2.22?x0?y0?a2b2?，得|y0|?.?2?假设存在点M满足题意，设M(x0，y0)，则?12c?S??2c?y0?b?2b2 而|y0|?a，当a?时，存在点M，使S?b2；cb2b2当a?时，不存在M点．当a?时，MF1?(?c?x0，?y0)，MF2?(c?x0，?y0)，cc又|FQ?PF1?PQ|?2a，而由椭圆定义|PF1?PF2|?2a，所以|PQ?PF2|，122MF1?MF2?x0?c2?y0?a2?c2?b2，即|MF1||MF2|cos?F1MF2?b2，1 |MF1||MF2|sin?F1MF2?b2.所以tan?F1MF2?2.即存在点M满足题意，2且?F1MF2的正切值为2.又S?

13

第四课时 直线与圆锥曲线的位置关系训练题

A组（基本训练题）

一选择题：（每题5分，合计40分）

1．抛物线x2?4y的焦点F作直线交抛物线于P1?x1,y1?,P2?x2,y2?两点，若

y1?y2?6，则P1P2的值为 （C ） A．5 B．6 C．8 D．10

2. 过点（2，4）作直线与抛物线y2?8x有且只有一个公共点，这样的直线有（ B） Ａ．一条 Ｂ．两条 Ｃ．三条 Ｄ．四条

3. 平面内有一线段ＡＢ，其长为33，动点Ｐ满足PA?PB?3，Ｏ为ＡＢ的中点，则OP的最小值为 （ A ）Ａ．

3 Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 24. 过抛物线y2?4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ B ）

A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在

x2y25双曲线2?2?1（a?0，b?0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角

ab为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ B ）

A．6

B．3 C．2 D．3 3x2y2??1恒有公共点，6直线y?kx?1(k?R)与椭圆则m的取值范围是（ A ） 5mＡ．?1,5???5,??? Ｂ．（０，５） Ｃ．?1,??? Ｄ．（１，５）

7.过点（1，0）且与双曲线x2－y2=1只有一个公共点的直线有 （ C ）

A．1 条 B．2条 C．3 条 D．4条

8．已知动点P（x,y）满足 5（x-1）2+(y-2)2=|3x+4y-11|，则P点的轨迹是 （ A ）

14

A、直线 B、抛物线 C、双曲线 D、椭圆 二．填空题：（每题5分，合计30分）

9. 一动点到y轴的距离比到点(2，0)的距离小2，这个动点的轨迹方程是_______. （答案：y2=8x或y=0（x<0））

y2?1的右焦点F2作倾斜角为30?的弦AB，则?F1AB的周10. 经过双曲线x?32长为 .( 答案： 3?33 )

x2y2O?1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，11. 过椭圆?545为坐标原点，则△OAB的面积为 ．（答案：）

312. 直线y=x－3与抛物线y2=4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积是 ．48

y213. 过双曲线x??1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB?4，则

22满足条件的直线l有____条3

14. 设P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆（x－5）2+y2=1上的点，则|PQ|的最小值为 2

三．解答题：（每题15分，合计30分）

15. 已知点P是⊙O：x2?y2?9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D,动点Q满足DQ?2DP. 3（1）求动点Q的轨迹方程；

（2）已知点E(1,1)，在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，使

1OE?(OM?ON) (O是坐标原点)，若存在，求出直线MN的方程，若不

2存在，请说明理由.

解：（1）设P(x0,y0),Q?x,y?，依题意，则点D的坐标为D(x0,0) ∴DQ?(x?x0,y),DP?(0,y0)，又 DQ?2DP 3 15