直线与圆锥曲线的综合问题 高考数学(3)

第三课时

一．知识体系小结

1．求轨迹方程的常用方法： ?1?轨迹法：①建系设动点．②列几何等式．③坐标代入得方程．④化简方程．⑤除去不合题意的点作答．(2)待定系数法：已知曲线的类型，先设方程再求参数．

(3)代入法：当所求动点随已知曲线上动点的动而动时用此法，代入法的步骤：

①设出两动点坐标(x，y)，(x0，y0)．②结合已知找出x，y与x0，y0的关系，并用x，y表示x0，y0. ③将x0，y0代入它满足的曲线方程，得到x，y的关系式即为所求． (4)定义法：结合几种曲线的定义，明确所求曲线的类型，进而求得曲线的方程． 3．有关弦的中点问题 (1)通法．

(2)“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率． 点差法的步骤：①将两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标代入曲线的方程； ②作差消去常数项得到关于x1+x2，x1-x2，y1+y2，y1-y2的关系式． ③求出AB的斜率 4．取值范围问题

(1)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c，最小值为a-c； (2)双曲线上的点到左焦点的最小距离为c-a； (3)抛物线上的点到焦点的距离的最小值为p/2 .

二．例题剖析

1.参数范围问题

【例1】已知点G是?ABC的重心，A(0，?1)，B?0,1?，在x轴上有一点M，满足|MA?MC|，GM??AB(??R)． ?1?求点C的轨迹方程；

?2?若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同的两点P、Q，且满足|AP?AQ|，试求k的取值范围． 9

xy解析：?1?设C(x，y)，G为?ABC的重心，则G(，)．因为GM??AB(??R)，33x所以GMAB，而点M在x轴上，则M(，．由0)|MA?MC|，得3 2x2xx()?(0?1)2?(?x)2?y2，整理得?y2?1(x?0)．333x2所以点C的轨迹方程为?y2?1(x?0)3?2?①当k?0时，l与椭圆C有两个不同的交点P、Q，由椭圆的对称性知x2|AP?AQ|.②当k?0时，可设l的方程为y?kx?m，代入?y2?1， 3整理得，(1?3k2)x2?6kmx?3(m2?1)?0，?*?因为直线l与椭圆交于不同的两点，所以??(6km)2?4(1?3k2)?3(m2?1)?0，即1?3k2?m2?0，?**?6km3(m2?1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1?x2??，x1x2?，221?3k1?3kx?x23kmm 则PQ中点N(x0，y0)的坐标为x0?1??，y?kx?m?，0021?3k21?3k2m?12又|AP?AQ|，所以AN?PQ，所以k?kAN?k?1?3k??1，3km-1?3k21?3k2得m?，代入?**?得k2?1，所以k???1,0??0,1?． 2综合①②得，k的取值范围是??1,1?．【变式训练1】在RtABC中，斜边BC为10，以BC的中点为圆心，作半径为3的圆，分别交BC于P、Q两点，设l?AP?AQ?PQ，试问?是否是定值？如果是定值，请求出这个值．解析：如图所示，建立直角坐标系．因为圆O的半径为3，因此PQ?36，利用圆心O，PAQ可构造得平行四边形APDQ，根据平行四边形的边长关系得，2AP?AQ2222?22??PQ22?AD，而AD?4AO?100，因此2AP?AQ22222?22?

?100?36，所以AP?AQ?PQ?68?36?104.

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