直线与圆锥曲线的综合问题 高考数学(2)

二．例题剖析

1.定值问题

x22【例 1】已知椭圆方程为?y2?1，点M(2，)，过M作倾斜角互补的两条直线，42分别与椭圆交于A、B两点(异于M)．?1?求证直线AB的斜率为定值； ?2?求AMB面积的最大值．解析：定点、定值、最值问题是圆锥曲线的综合问题，它涉及到直线，圆锥曲线的定义、方程及位置关系，同时又与三角、函数、不等式、方程、平面向量、导数等代数知识紧密联系．解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和识图能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整．

?1?证明：由题可知直线MA的斜率存在，且MA与MB的斜率互为相反数，不妨设直线MA的斜率为k(k?0)，则直线MA的方程为：y?2?k(x?22)，2x2直线MB的方程为y???k(x?2)，代入?y2?1可分别求得，24yA?yB2(4k2?4k?1）2(4k2?4k?1）xA?，x?，所以k??BAB4k2?14k2?1xA?xBk(xA?xB?22)11?.即直线AB的斜率为定值.xA?xB221x2?2?设直线AB的方程为y?x?m(m?0)，代入?y2?1得，24x2?2mx?2m2?2?0，由??0，得0?m2?2.而xA?xB??2m，xAxB?2m2?2. 所以|AB|?(1?k2)[(xA?xB)2-4xAxB]?点M到直线AB的距离为d?当m??1时，Smax?1.2.定点问题

5?4m2?821|AB|2?d2??m4?2m2，又0?m2?2，4

2m5.则S2AMB?1517【例2】已知点F(0，)，上半平面内的点P到点F和x轴的距离之和为.44?1?求动点P的轨迹方程； ?2?设动点P的轨迹方程为C，曲线C交y轴于点M，在曲线C上是否存在两点A，B，使?AMB??2？

?3?若A，B是曲线上满足?AMB??2的两点，求证：直线AB与y轴交于一定点． 6

15217??y?，44化简得动点P的轨迹方程为x2???y?4?(0?y?4)．这是一个以?0,4?为顶点， 解析：?1?设P点坐标为(x，y)，其中y?0.依题意得x2??y?2p?1，开口向下的抛物线的一部分(其中0?y?4)．?2?考虑到抛物线的对称性，不妨设直线MA：y?4?x，直线MB：y?4??x，分别与x2???y?4?(0?y?4)联立，可得两个点的坐标为A??1,3?，B?1,3?，

此时?AMB??2.1x?4.k?3?设直线AM的方程为y?kx?4，直线BM的方程为y???y?kx?4?x??k由方程组?2，解得?，即A点坐标为??k,4?k2?．2?x???y?4??y?4?k111同理可得B点坐标为(，4?2)，则直线AB的斜率为k?，所以直线AB的方程kkk1为y??4?k2??(k?)?x?k?.令x?0，得y?3，从而直线AB与y轴交于定点?0,3?．kx2y2【变式训练1】设A为双曲线??1右支上一动点，F为该双曲线的右焦点，169连接AF交双曲线于B，过B作直线BC垂直于双曲线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点? ?41A．(，0)1018B．(，0)C C.?4,0?522D．(，0)5

解析:此题也可采用探索法，考虑特殊情况，即AB与x轴垂直时， 41便可得出一个定点(，0)，故选A.103.最值问题

y2【例3】设椭圆方程为x??1，过点M?0,1?的直线l交椭圆于A、B两点，4111O是坐标原点，点P满足OP?(OA?OB)，点N的坐标为(，)．当l绕

222点M旋转时，求：?1?动点P的轨迹方程；2?2?|NP|的最大值与最小值． 7

解析:?1?直线l过点M?0,1?，当斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y?kx?1.?y?kx?1? 记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由?2y2，得(4?k2)x2?2kx?3?0，?1?x??42k?x?x???x?xy?y1?k4?124?k2所以?.则OP?(OA?OB)?(12，12)?(，)．2282224?k4?k?y?y?12?4?k2?设点P的坐标为(x，y)，则，消去k得4x2?y2?y?0.当斜率不存在时，AB的中点为原点?0,0?，也满足上述方程．所以点P的轨迹方程为4x2?y2?y?0.11111，即??x?.所以|NP|2?(x?)2?(y?)2 16442217121??3(x?)2?.故当x??时，|NP|取得最大值为；6126611当x?时，|NP|取得最小值为.44?2?由点P的轨迹方程知x2?【变式训练2】已知定点M?0,2?、N(0，?2)、Q?2,0?，动点P满足m|PQ|2?MP?NP?0(m?R)． ?1?求动点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状；?2?当m?0时，求|2MP?NP|的取值范围．

解析：NP?(x，y?2)，PQ?(2?x，?y)，?1?设P(x，y)，则MP?(x，y?2)，|PQ|2?(2?x)2?(?y)2，MP?NP?x2?y2?4所以m[(2?x)2?y2]?x2?y2?4，整理得，(m?1)x2?(m?1)y2?4mx?4m?4?0.当m?1时，方程为x?2，表示过点?2,0?平行于y轴的直线；当m?1时，方程化为(x?表示以(2m2，0)为圆心，以为半径的圆．m?1m?12m222)?y2?()，m?1m?12MP?NP?(3x,3y?2)，?2?当m?0时，方程化为x2?y2?4，所以|2MP?NP|?9x2?9y2?12y?4，又因为x2?y2?4，所以|2MP?NP|?40?12y,而?2?y?2所以|2MP?NP|的取值范围是?4,8?．

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