直线与圆锥曲线的综合问题 高考数学

直线与圆锥曲线的综合问题

一.知识体系小结

1．圆锥曲线的标准方程?x?acos?x2y2(参数方程，其中?为参数)；?1?椭圆：焦点在x轴上时2?2?1(a?b?0)??ab?y?bsin?22yx 焦点在y轴上时2?2?1(a?b?0)．abx2y2y2x2?2?双曲线：焦点在x轴上：2?2?1(a?0，b?0)；焦点在y轴上：2?2?1(a?0，b?0)．abab22?3?抛物线：开口向右时，y?2px(p?0)，开口向左时，y??2px(p?0)，开口向上时x2?2py(p?0)，开口向下时x2??2py(p?0)．2．常用曲线方程设法技巧x2y2x2y2?1?共焦点的设法：与椭圆2?2?1有公共焦点的椭圆方程为2?2?1；aba??b??2222xyxy与双曲线2?2?1有公共焦点的双曲线方程为2?2?1；a2ba2??2b??2xyxy2与双曲线??1共渐近线的双曲线方程为???(??0)；??2222abab?3?中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆、双曲线方程可设为mx2?ny2?1；?4?不清楚开口方向的抛物线设法：焦点在x轴上，y2?mx(m?0)； 焦点在y轴上，x2?my(m?0)．3．解决直线与圆锥曲线问题的通法: (1)设方程及点的坐标；

(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程； (3)应用韦达定理及判别式；

(4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．

(5)直线与圆锥曲线相交的弦长公式|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2或|AB?1?k2x1?x2| ?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] ?1?1|y1?y2|. 2k 1

4．圆锥曲线中点弦斜率公式b2x0x2y2在椭圆2?2?1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k??2；abay0b2x0x2y2在双曲线2?2?1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k?2；abay0p在抛物线y2?2px(p?0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k?.y0以上公式均可由点差法可得．5．解析几何与向量综合的有关结论?1?给出直线的方向向量u?(1，k)或u?(m，n)，等价于已知直线的斜率k或?2?给出OA?OB与AB相交，等价于已知OA?OB过AB的中点．?3?给出PM?PN?0，等价于已知P是MN的中点．?4?给出AP?AQ??(BP?BQ)，等价于已知A，B与PQ的中点三点共线．?5?给出以下情形之一：①AB//AC；②存在实数?，使AB??AC；n.m

③若存在实数?，?，且????1，使OC??OA??OB，等价于已知A，B，C三点共线．?6?给出MA?MB?0，等价于已知MA?MB，即?AMB是直角；给出MA?MB?m?0，等价于已知?AMB是钝角或反向共线；给出MA?MB?m?0，等价于已知?AMB是锐角或同向共线．MAMB?)?MP，等价于已知MP是?AMB的角平分线．?7?给出?(MAMB二. 例题剖析

1.概念性质

x2y2【例1】已知F1、F2为椭圆??1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点． 259若|F2A?F2B|?12，则|AB|?__________.解析:由椭圆的定义可知：|F1A|+|F2A|=2a=10，|F1B|+|F2B|=2a=10，所以|AB|=20-|F2A|-|F2B|=8.

x2y2【变式训练1】椭圆??1的焦点为F1，F2，P在椭圆上，如果线段PF1的123中点在y轴上，则PF1是PF2的? ?A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍b233373解析：由题意，PF2?x轴，则可计算出PF2???，PF1?43??，a23222因此PF1是PF2的7倍．答案为A

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2.椭圆方程

y2x2【例2】已知椭圆C1：2?2?1(a＞b＞0)的右顶点为A?1,0?，过C1的焦点且垂直ab长轴的弦长为1. ?1?求椭圆C1的方程；?2?设点P在抛物线C2：y?x2?h(h?R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M、N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值.?b?12a?2?y? 解析： .因此，所求的椭圆方程为?x2?1.?1?由题意，得?b2，从而?4?b?1?2??1?a?2?设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2?h)，则抛物线C2在点P处的切线斜率为y?|x?t?2t，直线MN的方程为：y?2tx?t2?h.将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2?(2tx?t2?h)2?4?0.即4(1?t2)x2?4t(t2?h)x?(t2?h)2?4?0.①因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以①式中的?1?16[?t4?2(h?2)t2?h2?4]＞0.②x1?x2t(t2?h)设线段MN的中点的横坐标是x3，则x3??.22(1?t2)t?1.由题意，得x3?x4，即t2?(1?h)t?1?0.③2由③式中的?2?(1?h)2?4?0，得h?1，或h??3.当h??3时，h?2＜0,4?h2＜0，设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4?则不等式②不成立，所以h?1.当h?1时，代入方程③得t??1，将h?1，t??1代入不等式②，检验成立．所以，h的最小值为1.x2y2【变式训练2】已知椭圆2?2?1?a?b?0?的离心率为e，左右焦点分别为F1??c,0?，abF2?c,0?，Q是椭圆外且不在x轴上的动点，满足FQ?2a，点P(x，y)是线段QF1与椭圆1的交点，点T是线段F2Q上的点，且满足PTTF2?0，求点T的轨迹．解析：不妨设T(x1，y1)，Q(x，y)，如图所示，F2?c,0?．因为PTTF2且FQ?2a，得T为F2Q的中点．1因此有2x1?c?x,2y1?y.又因为FQ?2a，122

则可得?x?c??y2?4a2，因此有?2x1?c?c??4y12?4a2，化简得x12?y12?4a2.

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【例3】如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上． (1)写出该抛物线的方程及其准线方程；

(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．

解析：?1?由已知条件，可设抛物线的方程为y2?2px.因为点P?1,2?在抛物线上，所以22?2p?1，解得p?2.故所求抛物线的方程是y2?4x，其准线方程是x??1.?2?设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA?因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA??kPB.y1?2y?2(x1?1)，kPB?2(x2?1)．x1?1x2?122由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y1?4x1， ① y2?4x2， ②y1?2y?2??2，所以y1?2??(y2?2)，所以y1?y2??4.1212y1?1y2?144

y?y14由①?②得，直线AB的斜率为kAB?2???1(x1?x2)．x2?x1y2?y1所以【变式训练3】抛物线y?x2上异于坐标原点O的两个相异的动点A，B满足OA?OB，问：AOB的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为OA?OB，则有y1y2??1，所以x1x2??1，y1y2?1.x1x2x12?y12122不妨设AOB的面积为S，则S?OAOB?，x2?y2222222222因此有4S2?(x1?y1)(x22?y2)?(y1?y1)(y2?y2)?[y1y2?y1y2?y1y2?y1?y2?]?2?y1?y2?2?2y1y2?4，因此S?1，当且仅当y1?y2?1时取到最小值．即此时A??1,1?，B?1,1?，Smin?1.小结：抛物线焦点弦的性质：

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直线l过抛物线y=2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A、B两点，则有： (1)通径的长为2p； (2)焦点弦公式：|AB|=x1+x2+p；

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(3)x1x2=p/4，y1y2=-p. (4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切．

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第二课时

一．知识体系小结

1．椭圆中的最值x2y2F1，F2为椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，B为短轴的ab一个端点，O为坐标原点，则有：?1?|OP|?[b，a]． ?2?|PF1|?[a?c，a?c]． ?3?|PF1|?|PF2|?[b2，a2]．??4??F1PF2??F1BF2.?5?SF1PF2?b2tan(???F1PF2)． ?6?焦点弦以通径为最短．22．双曲线中的最值x2y2F1，F2为双曲线2?2?1(a?0，b?0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，abb2O为坐标原点，则有：?1?|OP|?a.?2?|PF1|?c?a.?3?S?F1PF2??(???F1PF2)．tan23．抛物线中的最值点p.?2?焦点弦AB以通径2为最值，即|AB|?2p.?3?A(m，n)为一定点，则|PA?PF|有最小值．P为抛物线y2?2px(p?0)上的任一点，F为焦点，则有：?1?|PF|?4．双曲线的渐近线?1?求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解因式可得．?2?用法：①可得ba或的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．ab5．直线与圆锥曲线的位置关系?1?相离；?2?相切；?3?相交．特别地，①当直 …… 此处隐藏：2693字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……