江苏省苏州市2016届中考数学模拟试卷（二）含答案解析(7)

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了扇形的面积公式和含30度的直角三角形三边的关系．

27．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．

（1）点A的坐标是 （4，0） ，点C的坐标是 （0，3） ； （2）当t= 2 秒或 6 秒时，MN=AC； （3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；

（4）探求（3）中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．

【考点】二次函数综合题． 【专题】代数几何综合题；压轴题．

【分析】（1）根据B点的坐标即可求出A、C的坐标．

（2）当MN=AC时，有两种情况，①MN是△OAC的中位线，此时OM=OA=2，因此t=2； ②当MN是△ABC的中位线时，OM=OA=6，因此t=6； （3）本题要分类进行讨论：

①当直线m在AC下方或与AC重合时，即当0＜t≤4时，可根据△OMN∽△OAC，用两三角形的相似比求出面积比，即可得出S与t的函数关系式．

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②当直线m在AC上方时，即当4＜t＜8时，可用矩形OABC的面积﹣三角形BMN的面积﹣三角形OCN的面积﹣三角形OAM的面积来求得．（也可过O作直线m的垂线设垂足为F，那么在直角三角形OMF中，可根据OD的长和∠ODE的正弦值求出OF的长，求MN的方法一样）．

（4）根据（3）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出面积S的最大值及对应的t的值． 【解答】解：（1）（4，0），（0，3）；

（2）当MN=AC时，有两种情况，

①MN是△OAC的中位线，此时OM=OA=2，因此t=2； ②当MN是△ABC的中位线时， ∴AM=AB=，OA=4，

∴AD===2

∴OD=OA+AD=4+2=6，因此t=6；

（3）当0＜t≤4时，OM=t ∵由△OMN∽△OAC，得∴ON=

，S=t2

=

，

当4＜t＜8时， 如图，∵OD=t， ∴AD=t﹣4 方法一：

由△DAM∽△AOC，可得AM=（t﹣4） ∴BM=6﹣

由△BMN∽△BAC，可得BN=BM=8﹣t ∴CN=t﹣4

S=矩形OABC的面积﹣Rt△OAM的面积﹣Rt△MBN的面积﹣Rt△NCO的面积

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=12﹣（t﹣4）﹣（8﹣t）（6﹣方法二：

易知四边形ADNC是平行四边形， ∴CN=AD=t﹣4，BN=8﹣t．

）﹣=

t2+3t

由△BMN∽△BAC，可得BM=BN=6﹣∴AM=（t﹣4） 以下同方法一．

（4）有最大值． 方法一： 当0＜t≤4时，

，

∵抛物线S=t2的开口向上，在对称轴t=0的右边，S随t的增大而增大 ∴当t=4时，S可取到最大值×42=6；（11分） 当4＜t＜8时， ∵抛物线S=∴S≤6．

综上，当t=4时，S有最大值6． 方法二：

t2+3t的开口向下，它的顶点是（4，6），

∵S=

∴当0＜t＜8时，画出S与t的函数关系图象 如图所示．

显然，当t=4时，S有最大值6．

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【点评】本题考查了矩形的性质，二次函数的应用、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．

28．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线

相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐

标为（﹣2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC与△ABE的面积；

（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题． 【专题】综合题；压轴题．

【分析】（1）将点A的坐标代入双曲线方程即可得出k的值，设B点坐标为（m，﹣4m）（m＞0），根据双曲线方程可得出m的值，然后分别得出了A、B、O的坐标，利用待定系数法求解二次函数解析式即可；

（2）根据点B的坐标，结合抛物线方程可求出点C的坐标，继而可得出三角形ABC的面积，先求出AB的解析式，然后求出点F的坐标，及EF的长，继而根据S△ABE=S△AEF+S△BEF可得出答案．

（3）先确定符合题意的三角形ABD的面积，继而可得出当点D与点C重合时，满足条件，过点C作AB的平行线CD，则可求出其解析式，求出其与抛物线的交点坐标即可得出点D的坐标． 【解答】解：（1）∵点A（﹣2，2）在双曲线y=上，

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∴k=﹣4，

∴双曲线的解析式为y=﹣，

∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，

∴设B点坐标为（m，﹣4m）（m＞0）代入双曲线解析式得m=1，

∴抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过点A（﹣2，2）、B（1，﹣4）、O（0，0），

∴，

解得：，

故抛物线的解析式为y=﹣x2﹣3x；

（2）∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣3x， ∴顶点E（﹣，），对称轴为x=﹣， ∵B（1，﹣4）， ∴﹣x2﹣3x=﹣4， 解得：x1=1，x2=﹣4， ∵C横坐标＜0， ∴C（﹣4，﹣4）， ∴S△ABC=5×6×=15，

由A、B两点坐标为（﹣2，2），（1，﹣4）可求得直线AB的解析式为：y=﹣2x﹣2， 设抛物线的对称轴与AB交于点F，连接BE，则F点的坐标为（﹣，1）， ∴EF=﹣1=，

∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=×EF×|A横|+EF×|B横|=××（|A横|+|B横|）=××3=

（3）S△ABE=∴8S△ABE=15，

∴当点D与点C重合时，显然满足条件；

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；

，

当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，其对应的一次函数解析式为y=﹣2x﹣12， 令﹣2x﹣12=﹣x2﹣3x， ∴x2+x﹣12=0， ∴（x﹣3）（x+4）=0， 解得x1=3，x2=﹣4（舍去）， 当x=3时，y=﹣18，

故存在另一点D（3，﹣18）满足条件．

【点评】此题属于二次函数的综合题目，第一问的解答关键是掌握待定系数法的运用，求解第二问需要我们会根据函数解析式求两函数图象的交点坐标，此类综合题目，难度较大，注意逐步分析．

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