六年级奥数正式教材学生用(4)

智合教育……暑期蓝天行动

在等腰直角三角形ABC中 ∵AB=10

∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，

∴阴影部分面积=S△ABG-S△BEF=25-8=17（平方厘米）。

例4 如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.

求△ABD及△ACE的面积.

思路导航： 取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，

所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.

∴△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米。 又由于△ACE与△ACD等底、等高，所以△ACE的面积是15平方厘米。

二、巩固训练

1. 如右图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘米，它是三角形DEC的面积的

4，求正方形ABCD的面积。 5

2. 如右图，已知：S△ABC=1，AE=ED,BD=

2BC.求阴影部分的面积。 3

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3. 如右图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？

4. 如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积.

5. 如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.

（四） 不规则图形面积计算（2）

不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B之间有：SA∪B＝SA＋Sb-SA∩B）合并使用才能解决。

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一、例题与方法指导

例1 . 如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。

解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中

阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。

解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.

阴影部分的面积是正方形面积的一半。

解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影

部分的面积是正方形的一半. 例2. 如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。 解：由容斥原理 S

阴影

＝S扇形ACB＋S扇形ACD-S正方形ABCD

例3 如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。

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例4. 如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC长。

分析 已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径AB＝20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长.

二、巩固训练

1. 如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。

分析 阴影部分的面积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中（I）的面积之差。而（I）的面积等于边长为6的正方形的面积减去

1以6为半径的圆的面积。 4

2. 如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取π=3）.

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3. 如右图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积.

4. 如下页右上图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周上的中点，BC是半圆的直径，且AB=BC=10，求阴影部分面积（π取3.14）。

总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组

合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有：

一、 相加法：

这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.

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