六年级奥数正式教材学生用(10)

智合教育……暑期蓝天行动

例1. 在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。

思路导航：

由上一讲例4知中间方格中的数为7。再设右下角的数为x，然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21，如下图所示填上各数（含x）。

因为九个数都不大于12，由16－x≤12知4≤x，由x+2≤12知x≤10，即4≤x≤10。考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。经验证，当x＝6或8时，九个数中均有两个数相同，不合题意；当x＝4或10时可得两个解（见下图）。这两个解实际上一样，只是方向不同而已。

例2. 将九个数填入下图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有

证明：

思路导航：

设中心数为d。由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。由此计算出第一行中间的数为2d——b，右下角的数为2d-c（见下图）。

根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到

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3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c）， 3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c， d——c＋b＝d——a＋c，

2c＝a＋b， a＋b c＝2。

值得注意的是，这个结论对于a和b并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同。

例3. 在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。

思路导航：

由上一讲例4知，中心数为90÷3＝30；由本讲例2知，右上角的数为（23＋57）÷2＝40（见左下图）。其它数依次可填（见右下图）。

例4. 在右图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等。

思路导航：

由例2知，右下角的数为

（8＋10）÷2=9；由上一讲例4知，中心数为（5＋9）÷2=7（见左下图），且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21。由此可得如图的填法。

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二、巩固训练

1. 将1~6分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和相等.

2. 把1~8个数分别填入○中,使每条边上三个数的和相等.

3. 把1~9个数分别填入○中,使每条边上四个数的和相等.

4. 把1~10填入图中,使五条边上三个○内的数的和相等.

5. 将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,21,22.

（十一） 有趣的树阵图练习

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1. 把1~7填入下图中,使每条线段上三个○内的数的和相等.

2. 把1~16填入下图中,使每条边上4个数的和相等,两个八边形上8个数的和也相等.

3. 把4~9填入下图中,使每条线上三个数的和相等,都是18.

4. 把1~8这8个数填入下图,使每边上的加、减、乘、除成立. - = + ÷

× =

5. 把0~9填入10个小三角形中,使每4个小三角形组成的大三角形的和相等.

6. 把1~11填入图中,使每条线上三个数的和相等.

= =

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7. 把1~8,填入图中,使每条线及正方形四个顶点上的数的和相等.

8. 把1~9,填入下图中,使每条线段三个数和及四个顶点的和也相等.

9. 把17,23,25,31,46,53,58,66,72,88,94,100十二个数填入下图,使任意三个相邻的数相加的和除以7的余数相等.

（十二） 周期性问题

在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现。如：人调查十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；一年有春夏秋冬四个季节；一个星期有七天等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解决。

在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，如果正好有个整数周期，结果为周期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数，最后根据余数

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