备课资料 带电粒子在匀强磁场中运动轨迹的确定及多解问题教案(13)

【例3】如图所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成θ角的速度V0垂直射入磁场中；要使粒子必能从EF射出则初速度V0应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？

分析：粒子从A点进入磁场后受洛仑兹力作匀速圆周运动，要使粒子必能从EF射出，则相应的临界轨迹必为过点A并与EF相切的轨迹如图示，作出A、P点速度的垂线相交于O’即为该临界轨迹的圆心，临界半径R0由

有；故粒子必能穿出EF的实际运动轨迹半径R≥R0，即

有。

由图知粒子不可能从P点下方向射出EF，即只能从P点上方某一区域射出；又由于粒子从点A进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG直线上方射出；由此可见EF中有粒子射出的区域为PG，且由图知

。

【例4】如图所示S为电子射线源能在图示纸面上和360°范围内向各个方向发射速率相等的质量为m、带电-e的电子，MN是一块足够大的竖直档板且与S的水平距离OS＝L，档板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场；①若电子的发射速率为V0，要使电子一定能经过点O，则磁场的磁感应强度B的条件？②若磁场的磁感应强度为B，要使S发射出的电子能到达档板，则电子的发射速率多大？③若磁场的磁感应强度为B，从S发射出的电子的速度为子的范围多大？

，则档板上出现电

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分析：电子从点S发出后必受到洛仑兹力作用而在纸面上作匀速圆周运动，由于电子从点S射出的方向不同将使其受洛仑兹力方向不同，导致电子的轨迹不同，分析知只有从点S向与SO成锐角且位于SO上方发射出的电子才可能经过点O。

①要使电子一定能经过点O，即SO为圆周的一条弦，则电子圆周运动的轨道半径必满足

，由

。

②要使电子从S发出后能到达档板，则电子至少能到达档板上的O点，故仍有粒子圆周运动半径

，由

有

。

③当从S发出的电子的速度为时，电子在磁场中的运动轨迹半径

，但由于电子发射出的方向不同则其轨道不同，因而到达MN板的

位置不同。由此作出图示的二临界轨迹间；对SP1弧由图知

向SO下方发射；对SP2弧由图知向与SO成α为

而向SO的左上方发射。

，故电子击中档板的范围在P1P2

，且该电子的发射方向与SO必成30°

，且该电子的发射方

三、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的极值型问题

寻找产生极值的条件：①直径是圆的最大弦；②同一圆中大弦对应大的圆心角；③由轨迹确定半径的极值。

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【例5】图中半径r＝10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切；磁场B＝0．33T垂直于纸面向内，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为

，电量

的α粒子；已知α粒子质量为，则α粒子通过磁场空间的最大偏转角θ

及在磁场中运动的最长时间t各多少？

分析：α粒子从点O进入匀强磁场后必作匀速圆周运动，其运动半径由

一定；由于α粒子从点O进入磁场的方向不同故其相应的轨

迹与出场位置均不同，则粒子通过磁场的速度偏向角θ不同；要使α粒子在运动中通过磁场区域的偏转角θ最大，则必使粒子在磁场中运动经过的弦长最大；因而圆形磁场区域的直径OP即为粒子在磁场中运动所经过的最大弦；故α粒子从点O入磁场而从点P出场的轨迹如图圆O’所对应的圆弧示，该弧所对的圆心角即为最大偏转角θ。由前面计算知△SO/P必为等边三角形，故α＝30°且θ＝2α＝60°。此过程中粒子在磁场中运动的时间由为粒子在磁场中运动的最长时间。

即

【例6】一质量m、带电q的粒子以速度V0从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入强度为B的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC射出，求圆形磁场区域的最小面积。

分析：由题中条件求出粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径为一定，故作出粒子沿AB进入磁场而从BC射出磁场的运动轨迹图中虚线圆所示，只要小的一段圆弧PQ能处于磁场中即能完成题中要求；故由直径是圆的最大弦可得圆形磁场

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的最小区域必为以直线PQ为直径的圆如图中实线圆所示。由于三角形ABC为等

边三角形，故图中α＝30°，那么 ，故最小磁场区

域的面积为。

【例7】有一粒子源置于一平面直角坐标原点O处，如图所示相同的速率v0

向第一象限平面内的不同方向发射电子，已知电子质量为m，电量为e。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场后，都能平行于x轴沿+x方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积s。

分析：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径R＝mv0/Be是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆O1，它就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以R为半径的圆弧O1O2On。由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。如对图中任一轨迹圆O2而言，要使电子能平行于x轴向右飞出磁场，过O2作弦的垂线O2A，则电子必将从点A飞出，相当于将此轨迹的圆心O2沿y方向平移了半径R即为此电子的出场位置。由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧O1O2On沿y方向向上平移了半径R后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧OAP示。综上所述，要求的磁场的最小区域为弧OAP与弧OBP所围。利用正方形OO1PC的面积减去扇形OO1P的面积即为OBPC的面积；即R2-πR2/4。根据几何关系有最小磁场区域的面积为S＝2（R2-πR2/4）＝（π/2 -1）（mv0/Be）2。

四、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的多解型问题

抓住多解的产生原因：①速度方向的不确定引起的多解，②与自然数相关的多解即粒子运动时间与运动周期的倍数不确定。

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【例8】在前面“【例4】”中若将档板取走，磁场磁感应强度为B，当电子以速率

从点S射出后要击中O点，则点S处电子的射出方向与OS的夹角

为多少？从S到点O的时间多少？

分析：由已知条件知电子圆周运动的半径，电子从点S射出后要

经过点O即直线SO为圆的一条弦，由图知必有两种运动轨迹存在；由于题中SO＝L＝r，故∠OSO2＝60°，那么电子从点S的发射速度V2的方向与SO所成的夹角α＝30°；图中∠OSO1＝60°，故电子的发射速度V1的方向与SO所成的夹角θ＝150°。

【例9】一质量m带电q的粒子以速率V垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中，粒子经过一段时间受到的冲量的大小为mv，粒子重力不计。则此过程经历的时间为多少？

分析：粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径，右图示设粒子的初位

置为a，因其受冲量的大小为mv而方向未知故必有右图中的两种情况，即未动量的方向有P1、P2两个，对应的冲量方向仍有I1、I2两个。粒子作匀速圆周运动中动量的大小始终为mv不变，由动量定理

可知

而

；

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