信号与系统实验教案(9)

实验五 连续时间LTI系统的复频域分析

一、实验目的

1、掌握拉普拉斯变换的物理意义、基本性质及应用；

2、掌握用拉普拉斯变换求解连续时间LTI系统的时域响应；

3、掌握系统函数的概念，掌握系统函数的零、极点分布（零、极点图）与系统的稳定性、时域特性等之间的相互关系；

4、掌握用MATLAB对系统进行变换域分析的常用函数及编程方法。

基本要求：掌握拉普拉斯变换及其基本性质，掌握应用拉普拉斯变换求解系统的微分方程，能够自己编写程序完成对系统时域响应的求解。掌握并理解系统函数的概念，掌握系统函数零极点与系统时域和频域特性之间的关系，能够编写程序完成对系统的一些主要特性如稳定性、因果性等的分析。

二、实验原理及方法

1、连续时间LTI系统的复频域描述

拉普拉斯变换（The Laplace transform）主要用于系统分析。描述系统的另一种数学模型就是建立在拉普拉斯变换基础上的“系统函数（System Function）”——H(s)：

换L?y(t)?换L?x(t)?

H(s)?Y(s)?系统冲击响应的拉氏变X(s)?系统激励信号的拉氏变 5.1

系统函数H(s)的实质就是系统单位冲激响应（Impulse Response）h(t)的拉普拉斯变换。因此，系统函数也可以定义为：

? H(s)??h(t)e???stdt 5.2

所以，系统函数H(s)的一些特点是和系统的时域响应h(t)的特点相对应的。在教材中，我们求系统函数的方法，除了按照拉氏变换的定义式的方法之外，更常用的是根据描述系统的线性常系数微分方程（Linear Constant-Coefficient Defrential Equation），经过拉氏变换之后得到系统函数H(s)。

假设描述一个连续时间LTI系统的线性常系数微分方程为：

N?ak?0dy(t)kkMdtk??bk?0dx(t)kkdtk 5.3

对式4.3两边做拉普拉斯变换，则有

NMk

?ak?0sY(s)?k?bk?0ksX(s)

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kM即 H(s)?Y(s)X(s)?b?k?0Nkssk 5.4

kk?ak?0式5.4告诉我们，对于一个能够用线性常系数微分方程描述的连续时间LTI系统，它的系统函数是一个关于复变量s的有理多项式的分式，其分子和分母的多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的。根据这一特点，可以很容易的根据微分方程写出系统函数表达式，或者根据系统函数表达式写出系统的微分方程。

系统函数H(s)大多数情况下是复变函数，因此，H(s)可以有多种表示形式：

1、直角坐标形式： H(s)?Re(s)?jIm(s)

Mk?(s?zj)2、零极点形式： H(s)?j?1N

pi)?(s?i?1N3、部分分式和形式： H(s)??k?0Aks?sk（假设系统的N>M，且无重极点）

根据我们所要分析的问题的不同，可以采用不同形式的系统函数H(s)表达式。

在MATLAB中，表达系统函数H(s)的方法是给出系统函数的分子多项式和分母多项式的系数向量。由于系统函数的分子和分母的多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的，

因此，用MATLAB表示系统函数，就是用系统函数的两个系数向量来表示。

应用拉普拉斯变换分析系统的主要内容有：

1、分析系统的稳定性；

2、分析系统的频率响应。

分析方法主要是通过绘制出系统函数的零极点分布图，根据零极点分布情况，判断系统的稳定性。

MATLAB中有相应的复频域分析函数，下面简要介绍如下：

[z,p,k] = tf2zp(num,den)：求系统函数的零极点，返回值z为零点行向量，p为极点行向量，k为系统传递函数的零极点形式的增益。num为系统函数分子多项式的系数向量，den为系统函数分母多项式系数向量。

H = freqs(num,den,w)：计算由num,den描述的系统的频率响应特性曲线。返回值H为频率向量规定的范围内的频率响应向量值。如果不带返回值H，则执行此函数后，将直接在屏幕上给出系统的对数频率响应曲线（包括幅频特性取向和相频特性曲线）。

[x,y] = meshgrid(x1,y1)：用来产生绘制平面图的区域，由x1，y1来确定具体的区域范围，由此产生s平面区域。

meshgrid(x,y,fs)：绘制系统函数的零极点曲面图。

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H = impulse(num,den)：求系统的单位冲激响应，不带返回值，则直接绘制响应曲线，

带返回值则将冲激响应值存于向量h之中。

2、系统函数的零极点分布图

系统函数的零极点图（Zero-pole diagram）能够直观地表示系统的零点和极点在s平面上的位置，从而比较容易分析系统函数的收敛域（Regin of convergence）和稳定性（stablity）。

下面给出一个用于绘制连续时间LTI系统的零极点图的扩展函数splane(num,den)：

% splane

% This function is used to draw the zero-pole plot in the s-plane function splane(num,den)

p = roots(den); % Determine the poles q = roots(num); % Determine the zeros p = p';

q = q';

% Determine the range of real-axis

x = max(abs([p q])); x = x+1;

y = x; % Determine the range of imaginary-axis plot([-x x],[0 0],':');hold on; % Draw the real-axis plot([0 0],[-y y],':');hold on;

% Draw the imaginary-axis

plot(real(p),imag(p),'x');hold on; % Draw the poles plot(real(q),imag(q),'o');hold on; % Draw the zeros title('zero-pole plot');

xlabel('Real Part');ylabel('Imaginal Part') axis([-x x -y y]);

% Determine the display-range

对于一个连续时间LTI系统，它的全部特性包括稳定性、因果性（Causality）和它具有何种滤波特性（Frequency-domain aspect）等完全由它的零极点在s平面上的位置所决定。

3、拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系

根据课堂上所学的知识可知，拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系可表述为：傅里叶变换是信号在虚轴上的拉普拉斯变换，也可用下面的数学表达式表示 H(j?)?H(s)s?j? 5.5

上式表明，给定一个信号h(t)，如果它的拉普拉斯变换存在的话，它的傅里叶变换不一定存在，只有当它的拉普拉斯变换的收敛域包括了整个虚轴，则表明其傅里叶变换是存在的。下面的程序可以以图形的方式，表现拉普拉斯变换与傅里叶变换的这种关系。

% Relation_ft_lt

% This program is used to observe the relationship between the Fourier transform % and the Laplace transform of a rectangular pulse. clear, close all, a = -0:0.1:5; b = -20:0.1:20;

[a, b] = meshgrid (a, b); c = a+i*b;

%确定绘图区域

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c = (1-exp (-2* (c+eps)))./ (c+eps); c = abs (c); subplot (211) mesh (a,b,c); surf (a,b,c); view (-60,20)

%计算拉普拉斯变换 %绘制曲面图 %调整观察视角

axis ([-0 …… 此处隐藏：3077字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……