交通运输网络的数学模型(4)

变分不等式理论允许我们在存在性，独特性和解决方案的敏感度和可靠性方面定量分析，以及应用严谨的算法来对均衡模型进行数字计算。变分不等式算法经常把变分不等式问题分解为一系列简单的独立问题，相应地为可以用不同算法有效解决的优化化问题，这些算法有D和S的平衡算法，它们运用在时间算法中的时候也开发新的网络结构，还有BG的基本算法，似乎很适合大规模的网络模型。特别地，和松弛方法一样的设计方法已经被成功运用到运输网络均衡问题的变分不等式的计算机解决方案中。

我们强调上述网络均衡框架足够基础，可以在一个合理构建的网络或是超网中进行路径选择时使整个运输计划过程（包含起点选择，目的选择，或共同选择，加上路径选择，以一种优化方式）书面化。这点在1976年（在分离的路径费用函数的背景下）被D验证，她发展了整合的运输网络均衡模型，在模型里运输路线选择和住所选择同时进行。在参考书目和N的书中会有深层讨论，他们发展了更一般的模型，在这些模型中，费用不必是分离或是非对称的。

有一点值得注意，固定需求模型的变分不等式的介绍是在单模型运输网络的背景中给出的。但是，考虑到函数的普遍性，上面描述的模型框架适用于多种模型/多层次用户的问题，在这些问题中，有多种运输模式和以各自习惯看待网络线路费用的不同用户。D正式展示了一个多层次用户的交通网络可以通过建立一个包含原始网络中多层用户的扩展网络来映射为单一用户网络。这一转换的应用和电信网络也有关联。

同样的，我们注意到，这里的重点是确定性网络均衡问题。在S中可以找到一些基本的随机运输网络均衡模型。显然，D发展了最早的随机路径选择模型。相应的，D和S确切的阐述了一个随机路径选择的用户优化交通网络模型，在模型中，均衡原则可以简单地声明为没有用户可以通过改变各自路径来改善他的出行时间。 3.2弹性需求问题的变分不等式

我们现在描述一个来自D的有弹性需求的普通网络均衡模型，但是我们以简单的单模型角度来介绍他。假设我们引入一个和网路中每个O\\D对Ω关联的出行负效用方程λω，这里通常情况下，负效用被考虑为视整个需求向量而定，现在需求向量是一个不确定的变量，即

λΩ=λΩ d , ?ω∈Ω (26)

这里，D是Ｊ维需求向量。

标记与早先描述的一样，不过在这里我们也考虑普通的用户路段费用函数，即式子(18)所示。相应的流量方程依下列形式给出：

fa= p∈Pxpδap, ?a∈L, (27)

dω

= p∈Pωxp, ?ω∈Ω, (28)

xp≥0, ?p∈P. (29)

在弹性需求的情况下，表达式28的需求是变量不再是给定的，与表达式１给出的固定需求相反。

弹性需求情况下网络均衡条件

在弹性需求下呈现的网络均衡条件为以下形式。对于每一个O/D对Ω∈Ω，每一条路径p∈求的向量满足28和29（通过27引发一个路径流量类型）是一个网络均衡类型如果它满足：

ω? =λd, x>0ωp? Cp(x) (30) ?

≥λω dω , xp=0

Pω，路径流量和需

均衡条件声明每一条O/D对间使用的路径的费用相等且最小，等于O/D间的负效用。没有使用路径的费用可以

超过负效用。我们观察到在弹性需求模型中，如果O/D间的用户路径费用超过出行负效用，网络中的用户可以同时提前出行。因此，这个模型允许我们依据不同O/D间最终的平衡需求来确定他们的吸引力。另外，这个模型可以处理如下情况：上班族工作地点和路径选择的均衡决定，住所和路径选择，或者通过加入节点和线段的这种合理的转换来表示住所，工作地和路径选择，而且给出各自的函数。

注意到，虽然弹性需求运输网络模型的介绍是在单一运输模式和用户的情况下，我们可以简单介绍和上面模型

不同的模式。我们只需要介绍代表模式/类型的下标，有依据地重新定义上述向量，流量方程，最后声明式30必须满足每一个模式/类型。换句话说，在均衡中，一个给定模式的使用路径和O/D对必须有最小和相等的使用路径费用，相应地，必须等于此模式和均衡需求O/D对的出行负效用。当然，像在固定需求中所描述的，我们也可以在网络中建立许多模式，在这种情况下，除了扩展弹性需求模型以外的单一模型网络应该与一个多模型网络相当。 在接下来的两个命题中，网络均衡条件的变分不等式（30）以路径流量形式和路段流量形式呈现出来。依D来说，他们各自存在和固定需求模型相似的公式22，23，24，25.

命题3：网络变分不等式 弹性需求均衡—路径流量形式 一个向量(x题：

3 ω∈Ω p∈PωCp x? × x?x? ? ω∈Ωλω d? × dω?d?ω ≥0, ? x,d ∈K, (31)

?

,d?)∈K3是一个网络均衡路径流量类型，即它满足均衡条件（30）仅当它满足满足变分不等式问

或者，以向量形式表示为：

C x? ,x?x?>?≥0, ? x,d ∈K3, (32)

这里, λ是J维负效用向量，K3的定义为：K3≡ x≥0,满足（28） 命题4：网络变分不等式 弹性需求的均衡—路径流量形式

向量(f?,d?)∈K4是一个网络均衡路段流量类型仅当它满足变分不等式问题：

? 4

a∈Lca f? × fa?fa? ω∈Ωλω d? × dω?d?ω ≥0, ?(f,d)∈K, (33)

或者，以向量形式：

?≥0, ? f,d ∈K4, (34)

这里??4≡ ??,?? ,存在??≥0满足 27 ，（28） 。

a b

3 图3：一个弹性需求例子 在负效用方程的对称假设条件下，即，如果

?λω?dω

1 2 =

?λω?dω,

，对于ω,Ω，加上用户路段费用方程的这一条假设，我

们可以得到（参考B，M和Ω）一个网络均衡条件的优化化公式，这个公式是在分离的用户路径费用函数和负效用方程的条件下给出的：

aω

Min a∈L cydy?λω(z)dz (35) aω∈Ω00

fd

满足：27—29

我们现在介绍一个有弹性需求的运输网络均衡问题，且是对称的用户路径费用方程。

一个有弹性需求的运输网络均衡例子

考虑图3描述的网络，有三个节点：1，2，3;三条线段：a,b,c;一个简单的O/D对ω1=(1,3)。令路径p1=(a,c),令路径p2=(b,c).

假设用户路段费用函数为：

ca(f)=4fa+fb+10, cb(f)=3fb+2fa+20, cc(f)=2fc+fb+fa+5,

负效用函数为：

λω1 dω1 =?dω1+120.

观察到在这个例子中，用户路段费用函数方程是不分离和对称的，因此，均衡条件不能作为解决优化化问题的方案公式化给出，但是可以作为解决变分不等式问题的方案。但是，假定在这个简单的例子中，网络和费用结构很简单，我们可以直接解决均衡条件。

?

此U—O流量和需求模型满足均衡条件（30）：xp1

?

=10,xp2=5,d?和相关联的路段流量形式：ω1=15，

??

fa=10,fb=5,fc?=15。所产生的 …… 此处隐藏：1690字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……