交通运输网络的数学模型(2)

这里δap =1，如果路线a包含于路径p，否则等于0.表达式2说明a的流量等于路径p中包含路线a的所有流量总和。

特别的，方程1和2保证网络中的流量（出行者，电子信息等）是守恒的，即它们会从出发点到达设定的目的，而不会在网络中消失。

令Ca代表与横贯路线相关联的用户，Cp代表和路径p有关的用户费用。假设用户路线费用函数由一个路线费用仅依据此路线流量的分离函数规定，即：

ca

=ca fa , ?a∈L, (3)

为了塑造流量对费用的影响，特别是在拥堵的状况，我们假设Ca是连续的以fa为自变量的增函数。 这里费用被诠释为一个普通的含义。从一个交通运输设计师的角度考虑，一条线路上的费用尤其与出行时间相关联。另外，也可以建立普通意义上的线路费用函数，可以以金钱和出行时间权衡，也包括其他的尺度，包括环境因素。

一条路径上的费用等于这条路径上所有线路的费用总和，即 Cp

运输网络均衡条件

在用户优化问题中，人们试图确定一个线路流量类型x，它满足守恒的流量方程1和2，也满足线路流量的非负假设，且满足接下来规定的运输网络平衡条件。对于每一个O\\D对ω

= a∈Lca fa δap, ?p∈P. (4)

∈Ω和每条线路p∈Pω:

?

= λω,xp>0 Cp= (5) ?

=λω,xp=0

因此，在用户优化问题中，没有明确的优化化概念，因为运输网络系统中的用户以不合作的方式独立行动，直到

他们不能单方面改善自己的状况为止，此时，受上述均衡条件控制的均衡状况就会出现。事实上，条件5是Ω准则一的简单数学重述，它的意义是仅仅那些被使用的连接O|D对的线路会有相等和最低的用户费用。在5中，以λω代表O/D对Ω的最低费用，一旦均衡流量模型出现它的值就会达到。否则，用户可以通过转换的费用低的线路来改善自己的状况。用户优化代表离散决策，而系统优化代表集中决策。见表一。

为了得到解决上述问题的方法，B，M和Ω在用户费用函数是形式3的条件下建立了解决网络均衡问题的方法。式3中线路的费用仅依据线路流量来决定，并且假设为是连续的以流量为自变量的增函数，解决上述问题可以通过解决一下优化化问题：

a

Min a∈L c(y)dy (6) 0a

f

满足：

p∈Pωxp=dω, ?ω∈Ω, (7) fa= p∈Pxpδap, ?a∈L, (8) xp≥0, ?p∈P. (9)

6给出的目标函数是用普通目标凸优化设计算法来得到解决方案所建立的一个简单策略。它不包含下面介绍的经济学意义上系统优化问题中遇到的目标函数。注意，在分离和不分离但是对称的情况下，用户线路费用函数中λω

相当于与O/D对Ω限制条件7关联的啦格朗日乘数。但是，在不分离对称函数中没有运输网络均衡条件在形成的条件下，λω只简单的反映在均衡条件下与O/D对相关联的最小用户费用。和D与S同样早闻名，上述网络均衡条件也相当于纳什均衡。这个联系在计算机科学上获得广泛兴趣。如果目标函数严格凸优化，均衡线路流量模型受7-9限制对于问题6来说是独特的。 2.１.2系统优化问题

现在我们来描述和讨论系统优化问题。和用户优化问题类似，在网络G=[N,L]中，和O/D对相关联的需求和假设的用户线路费用函数已经给出。在系统优化问题中，由一个交通中心控制者来决定交通线路来使网络中的总费用最低。

线路ａ的总费用，用c a(fa)来表示，表达式为：

c a(fa)=ca(fa)×fa, ?a∈L, (10)

即一条线路的总代价等于用户费用乘以这条线路的流量。正如先前提到的，在系统优化问题中，在网络系统中存在一个中央控制者来寻求最小总费用，总费用表达式为：

a∈Lc a fa , (11)

其中一条线路的总费用为表达式10 系统优化问题即：

Min a∈Lc a(fa) (12)

满足用户优化问题中的流量方程，以及线路流量的非负假设；即限制条件7，8，在系统优化问题中同样要满足条件9.

路线的总费用用Cp表示，是路线的用户费用乘以流量，即：

Cp=Cpxp, ?p∈P, (13)

这里用户费用CP以组成此线路的所有连接线上用户费用总和来表示，即

Cp= a∈Lca(fa)δap, ?a∈L. (14)

鉴于2，3和4，人们可能把路线P的费用表示为以流量为变量的方程，因此，上述系统优化问题的目标函数用

另一个视角可以表达为仅以线路流量为变量的形式，即为如下问题：

Min p∈PCp(x)xp (15)

满足限制条件7和9. 系统优化条件

在假设用户线路费用方程为增函数的条件下，在S—O问题中目标函数12为凸优化函数，包含线性限制条件7—9的合理的设也是凸优化性的。因此，在优化条件下，即K—T条件：对每一个O|D对ωp∈Pω，流量形式x（相当于线路流量形式f）满足7—9并且要满足：

,=μω, xp>0, (16) Cp

≥μω, xp=0,

∈Ω，对每一条线路

这里Cp代表线路p的边界总费用，有一下式子给出：

,?c a(fa) C=δap, (17) pa∈L

?fa

在解决方案中以式子16来评估，μω是该O|D对Ω中与限制条件相关联的啦格朗日常数。

观察到条件16可能被改变，使得每一对O|D存在有先后顺序的线路，凭借这个所有使用的线路（正流量）有相等且最小的边界总费用，没有使用的线路（零流量）有较高的边际总费用。因此，在S—O问题中，表一所示，根据优化条件16，每一条连接O|D对的使用路线的边际总费用相等且最低。 2.1.3 Braess悖论

为了在一个明确的例子中说明用户优化和系统优化，且增强上述概念，我们回顾了众所周知的Braess悖论。像在运输网络中一样这个矛盾同样与电信网络相关联，特别是，因特网，因为这种网络符合交通控制的离散控制。 ·

c

2 3 2 311 a b a b d c d 4 4 图一：Braess网络实例

假设一个网络像图表一所示有四个节点：1，2，3，4；四条连线：a，b，c，d;和一个O/D对Ω1＝（１，4）．因此，在O/D间有两条路径可供选择：p1＝（ａ，C）和p2＝（B，D）。

用户线路流量方程为：

ca fa =10fa,cb fb =fb+50, cc fc =fc+50, cd fd =10fd.