交通运输网络的数学模型(3)

假设一个固定的出行需求dω1=6. 很简单就可以证明均衡的路径流量为：xp1

?

????

=3，xp=3,均衡的线路流量为：f=3,f=3,f=3,acb2

?

fd=3，与之相关联的均衡路径出行费用为：Cp1=ca+cc=83,Cp2=cb+cd=83.

现在假设，如图一描述，一条新的线路＂ｅ＂，在原始网络中加入节点2和3，以及用户线路费用函数

ce fe =fe+10.。这条线路的增加创造了新的路径p3=(a,e,d)可供出行者选择。假设出行需求dΩ1遗留六个

单位的流量。注意到原始的流量分配类型xp1=3和xp2=3不再是均衡模型，因为在这一水平的流量路线p3的用户费用为Cp3=ca+cb+cc=70。因此，路径p1和p2的用户将会转换到p3.

?

新网络中的均衡流量模型为：xp1

????

=2,xp2=2,xp3=2,相应的均衡线段流量为：fa=4,fb=2,

??

fc?=2,fe=2,fd=4，相应的均衡用户路径出行费用为：Cp1=92,Cp2=92。事实上，我们可以证明任

何重新分配的路径流量将会带来更高的出行费用。

注意到网络中每一个用户的出行费用从83增加到92对出行需求不产生任何改变！

路径出行费用的增加部分原因是在这个网络中两条路段被不同的路径享有，这些路段在流量和费用上产生增量。因此，Braess悖论和网络的基础拓扑学有关，当然，和用户行为也有关联，此时是用户优化。但是我们可以说明，在一个O|D段增加一条不分享原始路径上路段的路径不会引发Braess悖论。

回顾和Ω准则二相当的系统优化解决方案，可以最小化网络总费用，所有连接每个O/D对的利用的路径将会有相等的最低出行总费用。

图一中第一个网络的系统优化解决方案为：xp1=xp2=3，相应的边际总费用为：Cp1

,, =Cp2=116。加入线段

ｅ这个依然是最有化方案，因为路径p3的边际费用在可行模型中等于１30.

一条新的线段的加入不会增加网络总费用，但是会增加用户的费用，因为出行者独立决定自己的行为。 3.非对称线段费用的模型

在建模和使更普遍的运输网络均衡模型公式化和计算成为可能的方法学的发展方面，前几十年已经有很多研究

活动。普通模型的例子包括那些允许运输模式多样化或是用户阶层多样化（如计算机信息），这些类型的路段费用仅依靠自身的流量。在这部分，我们考虑用户费用不仅仅依靠路段流量的网络模型。在3.１，我们介绍一个有固定需求的运输网络均衡模型，在3.2介绍一个有弹力需求的模型。在3.１.3部分，我们进一步详尽说明运输网络均衡概念和它的公式化，以及强调几种新的应用。

假设用户路段费用方程是一个普通形式，即，路段费用不仅仅视此路段的流量而定，还跟网络流量有关，即：

ca=ca(f), ?a∈L. (18)

在均衡假设

?ca(f)?fb

=

?cb(f)?fa

存在的情况下，对于所有的路段a,b∈L，我们依然可以把满足均衡条件的网络均

衡问题的解决方案以优化化问题的解决方案来表示出来，尽管，目标函数是人为的一个简单的数学手段。但是，当均衡假设不再满足时，这样的优化形式不再存在，我们必须求助于变分不等式原理。非对称费用方程的运输网络模型很重要，因为他们允许公式化表述，定性分析，最终，一条线路费用的解决方法可能以一种不同的方式依据另一条线路的流量而定，而不是依据自身线路流量而定。这样一个概论适用于交叉口，双向路段和多种运输模式包括网络有不同阶层用户的实际处理。

在这种运输网络均衡问题的领域里固定维数变分不等式原理意识到自身最初的成就，它们以S和D的贡献开始。N的书中又对这门学科的简介，包括运输网络和财政中的立体均衡问题的应用。以下我们展示了运输网络均衡问题中固定需求和弹性需求的变分不等式化表述。

相应地，系统优化问题中，不分离的用户路段费用函数变为：

Min a∈Lc a f , (19)

满足7—9·这里c a f =ca f ×fa,?a

∈L.

系统优化条件仍为式16，但是现在的边界总费用以一种更为普遍的形式表示为：

?c ,b(f) C=δap, ?p∈P. (20) a,b∈Lp

?fa

3.1固定需求问题的变分不等式

如先前所提，在用户路段费用方程不对称的情况下，我们不能计算出U-O解决方案，即对于网络均衡问题使用标准

的优化化算法。我们再次强调，从应用角度老说这种基本费用方程很重要，因为它们允许网络中的非对称作用。例如，非对称费用方程允许人们处理一条特定路段的流量以一种不同的方式影响另条路段的费用而不是这条特定路段的费用受别条路段流量影响的情况。

首先，回顾变分不等式问题的定义。查看N和D的书和其他文献可以获知深层的背景，理论公式，起源和结果的证明。我们提供路径流量和路段流量中网络均衡条件的变分不等式形式。

特别地，变分不等式问题的定义如下： 定义一：变分不等式问题

固定维数的变分不等式问题，VI(F,K)是来确定一个向量X*∈

K,如

≥0, ?X∈K, (21)

Normal Cone

X X-X* X* -F(X*)

F(X) Feasible Set K 图2：VI(F,K)的图形解释

*

这里F是一个给定的从K到R*连续函数，K是一个给定的闭向量，<.,.>代表R*的内部结果。

变分不等式在标准形式里被提到。因此，对于一个给定的问题，特别是一个均衡问题，我们必须决定进入变分不等式问题中的函数F，变化向量X，和可行区间K。

特殊情况下，变分不等式问题包括总所周知的方程组问题，优化化问题和补足问题，因此，它是解决均衡分析和计算的很强的方法学。

变分不等式问题的图形解释在图2给出。特别地，在点X* F(X*)与可行域K是直交的。 原理一：网络的变分不等式 固定需求的均衡—线路流量描述

一个向量x

*

∈K1是一个网络均衡线路流量类型，即，它满足均衡条件5仅当它满足以下变分不等式问题：

ω∈Ω p∈PωCp x? × x?x? ≥0, ?x∈K1, (22)

或者，以向量形式表示为：

≥0, ?x∈K1, (23)

这里C是路径用户费用的nP维列向量，K的定义为K≡ x≥0,满足（7）

定理2：网络的变分不等式 固定需求的均衡—路段流量描述 一个向量f?

1

1

∈K2是一个网络均衡路段流量类型仅当它满足一下变分不等式问题：

? a∈Lca f? × fa?fa≥0, ?f∈K2, (24)

或以向量形式表示：

≥0, ???∈K2, (25)

这里c是路段用户费用的nL维列向量，K的定义为：K≡ f/这里存在一个x≥0满足 7 和（8）

注意到我们可以通过让F

2

2

≡C,X≡x,K≡K1把变分不等式23化为标准形式21.同样，当F≡c,X≡f,K≡

K2时我们也可以把变分不等式式25化为标准形式。因此，在不对称的用户路段费用函数的情况下固定需求的运输

网络均衡问题可以以变分不等式问题来解决，想上面所给出的一样。

在设计其他模型中一个问题的其他变分不等式和有用，包括动力形式，用不同算法来达到计算目的。在第4节，

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