华数思维训练导引四下(5)

（2）因为第44个正方形上的新增的拐弯数是44^+1=1937和44^+1+44=1981，而第45个正方形新增的拐弯数已是45^+1=2026，所以从1978到2010的自然数中，在拐弯处的只有1981。

答：（1）530；（2）1981。

10．有一张写着自然数1至100的数表，可以在表中相邻两行内各取连续的3个数，然后用长方框围起来。例如，图17-10中所示长方框内的6个数之和是108。如果某个按上述方式形成的长方框所围出的6个数之和是480，那么其中最大的数应是多少？

此主题相关图片如下：

解：480-108=372，平移时方框内每个数增加相同，各增加了372/6=62。最大的数为23+62=85。

答：其中取的数就是85。

11．有一列数，第一个是105，第二个是85，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数。那么，第19个数的整数部分是多少？

解：第3个数=（105+85）/2=95；第4个数=（85+95）/2=90；第5个数=（95+90）/2=92.5；第6个数=（90+92.5）/2=91.25；第7个数=（92.5+91.2 5）/2=91.875；后面的数都在91.25-91.875之间，整数部分均为91。

答：第19个数的整数部分是91。

12．自然数的平方按从小到大的顺序排列成14916253649?。问第612个位置上的数字是几？

解：1-3的平方是一位数，共3位；4-9的平方是两位数，共2×6=12位；10-31的平方是三位数，共3×22=66位；32-99的平方是四位数，共4×68=272位。

1-99的平方共有3+12+66+272=353位，还差612-353=259位。259除以5商51余4，所以第612个位置上的数字，是从100开始的第52个的平方的第4位数，即151的平方的第4位数。151^2 =22801，它的第4位是0。

答：第612个位置上的数字是0。

13．把除1外的所在奇数依次按一项，二项，三项，四项循环的方式进行分组：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），??。那么，第1994个括号内的各数之和是多少？

解：将每4个括号归为一队，每队1+2+3+4=10个奇数。1994除以4商498余2，所以第1994个括号是第499队的第二个括号，有两个数。第1994个括号之前共有498×10+1=4981个奇数，从3算起，第1994个括号内的奇数是第4983和第4984个奇数。因此第1994个括号中的第一个数是第2×4983-1=9965，9965+9967=19932。

答：第1994个括号内的各数之和是19932。

14．如图17-11，有一系列图形：当n=1时，长方形ABCD分为2个直角三角形，总计可数出5条边；当n =2时，长方形ABCD分为8个直角三角形，总计可数出16条边；当n=3时，长方形ABCD分为18个直角三角形，总计可数出33条边。问当n=100时，长方形ABCD应分为多少个直角三角形？总共可数出多少条边？

此主题相关图片如下：

解：n=1，直角三角形的个数=2×1^2=2，数出的边数=2×1×（1+1）+1^2=5

n=2，直角三角形的个数=2×2^2=8，数出的边数=2×2×（2+1）+2^2=16

n=3，直角三角形的个数=2×3^2=18，数出的边数=2×3×（3+1）+3^2=33

即：直角三角形的个数=2×n^2，数出的边数=2n（n+1）+n^2=16

当n =100时，直角三角形的个数=2×100^2=20000，

数出的边数=2×100×（100+1）+100^2=30200

答：有20000个直角三角形，30200条边。

15．一堆球，如果球的总数是10的倍数，就平均分成10堆并拿走9堆；如果球的总数不是10的倍数，就添加不多于9个球，使球数成为10的倍数，再平均分成10堆并拿走9堆。这个过程称为一次“均分”。若球仅为一个，则不做“均分”。如果最初有球1234?19961997个，问经过多少次“均分”和添加多少个球后，这堆球便仅余下一个球？

解：1234?19961997共有1×9+2×90+3×900+4×998=6881位。每“均分”一次，剩下的球比原来少一位数。“均分”6880次后还剩2个，再“均分”一次剩1个。共“均分”6881次。

如果球数是999??999（共6881位）个，第一次“均分”添加1个球，以后“均分”不用添加，共经过6881次“均分”，最后剩一个球。这个数相当于将1234?19961997和每位数都补成9，补上的所有数之和再加上1。

999??999（共6881位）的各位数字之和=9×6881=61929。

而1234?19961997的各位数字之和，将1998补在后面即1234?199619971998，首尾两两配对，1+1998=1999，2+1997=1999，??，999+1000=1999，共999对，每对数字之和是1+9+9+9=28，1234?19961997的各位数字之和=28×999-（1+9+9+8）=27945。

所以，1234?19961997比999??999（共6881位）共补上了61929-27945=33984，所以1234?19961997一共补上33984+1=33985个球。

答：经过6881次“均分”，添加33985个球。 华数思维训练导引——幻方与数阵图扩展（四年级） 四年级第16讲，数字谜问题第09讲 幻方与数阵图扩展

1．用1至9这9个数编制一个三阶幻方，写出所有可能的结果。所谓幻方是指在正方形的方格表的每个方格内填入不同的数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格的数。

2．已知图16-1是一个四阶幻方，那么标有 * 的方格中所填的数是多少？ 此主题相关图片如下：

3．将自然数1至9分别填在如图16-2所示的3×3方格表内，使得每行、每列及两条对角线上的数满足：两端的两个数之和减去中间的数，结果都等于5。 此主题相关图片如下：

4．把1，2，3，4，6，9，12，18，36这9个数分别填入3×3方格表的各方格内，使每一行、每一列及两条对角线上的3个数的乘积都是216。求位于正中间的方格中所填的数。 5．图16-3是一个三阶幻方，那么标有 * 的方格中的所填的数是多少？ 此主题相关图片如下：

6．在图16-4的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于19.95。那么，标有 * 的格内所填的数是多少？ 此主题相关图片如下：

解：中心数为19.95/3=6.65，其上（第二列第一数）为19.95-6.65-8.80=4.50

则*=19.95-4.33-4.50=11.12

答：*内填11.12。

7．如图16-5所示，在3×3方格表内已填好了两个数19和95，在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。（1）求x；（2）如果中间的空格内填入100，试在上一小题的基础上，完成填图。 此主题相关图片如下：

8．在图16-6所示的方格表的每个方格内填入一个恰当的字母，可以使得每行、每列及两条对角线上4个方格中的字母都是A，B，C，D，那么，表中标有★的方格内应填的字母是什么？ 此主题相关图片如下：

解：从对角线看★可为B，C，D；从第4列看★不为D。故★可能是B或C。

再看左下角数，从第一列看不为A，C；从对角线看不为D。故左下角数为B。

从第4行看★只能是C。

答：★是C。

9．请在4×8方格表的每个方格内填入数1，2或3，使得任何排列成如图16-7所示形状的4个方格中所填数的和都是7。