华数思维训练导引四下(4)

解：如图，沿红线方向从第一行开始把这些数串起来，发现：绿线相连的两个数之和等于绿线箭头指向的数。也即是：

奇数行：最右一个数为0，左侧的数等于它右侧数与它右上侧数之和；

偶数行：最左一个数为0，左侧的数等于它左侧数与它左上侧数之和。

因此，第八行最左的数是0，后面依次是61，122，178，??

答：x=178

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3．如图17-3所示的数阵中的数字是按一定规律排列的。那么这个数阵中第100行左起第5个数字是多少？

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解：每行7个数，99行共99×7=693个数。

首先一位数有1×9=9个数字，其次十位数有2×90=180个数字，还少693-（9+180）=504个数字，即504每两行增加30，3=168个三位数。从100到267是168个数。所以第99行正好写到267为止。

第100行的7个数从左到右依次为：2 6 8 2 6 9 2

答：第100行左起第5个数字是6。

4．如图17-4所示，把自然数中的偶数2，4，6，8，?，依次排成5列。如果各列从左到右依次称为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列，那么，数1986出现在第几列？

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解：观察，差为16的两个数位于同一列，1986除以16商124余2，知1986是奇数行第一个数，因此在第2列。

答：1986出现在第2列。

5．在图17-5所示的数表中，第100行左边第一个数是多少？

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解：每行3个数，99行共3×99=297个数，从2起第297个数是298，所以第100行有299，300，301这三个数。

奇数行从左到右数由小到大，偶数行从左到右数由大到小，第100行排列为301，300，299。答：第100行左边第一个数是301。

6．在图17-6所示的数表中第n行有一个数A，它的下面一行，即第n+1行有一个数B，并且A和B在同一竖列。如果A+B=391，那么n等于多少？

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解：相邻两行中，同一列的两个数之和都是相等的。

观察第一列数：1，30，31，60，61，91，??，相邻两行两数之和依次为31，61，91，121，151，??。这是一个等差数列，首项31，末项391，公差为30。A+B位于这个数列的第（391-31）÷30+1=13项。所以A位于题中数表的第13行。

答：n=13。

7．如图17-7，自然数按某种方式排列起来，其中数3排在第二行第一列，13排在第三行第三列。问：1993排在第几行第几列？

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解：

奇数斜行自下而上递增，偶数斜行自上而下递增。

试算1993位于第几斜行：1+2+??+62=（1+62）×1×62/2=1953，1+2+??+63=（1+63）×1×66/2=2016，知1993位于第63斜行。此行数自下而上递增，左下方为第一个数1954。因此，1993是第63斜行中的第（1993-1954）+1=40个数，即位于第40列。

1954位于第63行第1列，1955位于第62行第2列，??，1993位于第63-40+1=24行。

答：1993排在第24行第40列。

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8．图17-8是按照一下规律组成的三角形数阵，其中第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，?，最后一排有10个数。如果把 55个数相加，问：所得到的和的十位数字是几？

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解：观察得知，下一行数的和是上一行数的和的2倍。从第一行到第十行，每行含有的1991分别为1，2，4，8，16，32，64，128，256，512个，总和中含有1023个1991，所以和的十位数是9。

9．如图17-9，将自然数1，2，3，4，?，按箭头所指方向顺序排列，拐弯位置处的数依次是2，3，5，7，10，?。

（1）如果认为2位于第一次拐弯处，那么第45次拐弯处的数是多少？

（2）1978到2010的自然数中，恰在拐弯处的数是多少？

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解：（1）1，2，3，4（2的平方）组成的第一个正方形有2个拐弯2和3；

3，5，7，9（3的平方）组成的第二个正方形又增加2个拐弯5和7，共有4个拐弯；

7，10，13，16（4的平方）组成的第三个正方形又增加2个拐弯10和13，共有6个拐弯；??；第45个拐弯应在第23个正方形上，即比23的平方大1。即23^2+1=530。