基于MATLAB的控制系统稳定性分析(5)

6频域法分析

6.1频域法分析的基本概念

频域法分析法是利用频率特性研究线性系统的一种经典方法，可以用开环系统的奈氏图（Nyquist）、波德图（Bode）、尼氏图（Nichols）分析系统的性能。

在电路上，它是借助傅里叶级数，将非正弦周期性电压（电流）分解为一系列不同频率的正弦量之和，按照正弦交流电路计算方法对不同频率的正弦量分别求解，再根据线性电路叠加定理进行叠加即为所求的解。本设计着重介绍奈氏图以及波德图来分析系统的稳定性。

6.2奈氏图（Nyquist）

Nyquist 稳定性判据，简称奈氏判据，它是频域中，利用系统的开环频率特性来判定性来获得闭环系统稳定性的判别方法。奈氏稳定判据的内容是:若开环传递函数在s右半平面上有P个极点,则当系统角频率X由-∞变到+∞时,如果开环频率特性的轨迹在复平面上时针围绕(-1,j0)点转R圈,若Z=P-R,Z=0则闭环系统稳定,否则,是不稳定的.频域稳定性判据所依据的是控制系统的开环频率特性，也就是仅仅利用系统的开环信息，不仅可以确定系统的绝对稳定性，而且可以以提供相对稳定性的信息，也就是说，系统如果是稳定的，那么动态性能是否好，或者如果系统是不稳定的，那么与稳定情况还差多少等等。所以频域稳定性判据不仅用于系统的稳定性分析，而且可以更方便地用于控制系统的设计与综合。

闭环系统稳定的充要条件：如果开环传递函数的Nyquist 图逆时针包围 (-1,j0)点的圈数等于开环右极点的个数p，则系统稳定。开环传递函数G(s)H(s)在s 右半平面上有p 个极点，当?由负无穷到正无穷时，[GH]平面上的开环频率特性G(j?)H(j?)逆时针包围(-1,j0)点p 圈，则闭环稳定。当?取值由负无穷到正无穷时，其开环G(j?)H(j?)轨迹必须逆时针包围(-1,j0)点p 次，否则就不稳定。

MATLAB 提供了函数Nyquist 来绘制系统的Nyquist 曲线，其基本调用格式为: s3 + 0.3s 2 +15s + 200 [re,im,w]=nyquist(sys)此函数可以用来求解、绘制系统的nyquist 曲线，可以分析包括增益裕度、相角裕度及稳定性等系统特性。如果使用时没有返回输出参数，函数会屏幕上直接绘制出nyquist 曲线。在MATLAB 中输入程序后，自动运行，即绘制出了奈氏曲线。

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例6：已知某系统开环传递函数为：G(s)H(s)=100/(0.006s^3 + 0.3s ^2 +8s + 50),用Nyquist 稳定判据判断闭环系统的稳定性。 解：先计算系统开环特征方程的根，其实现的程序代码如下： >>clear all;

>> K=[0.006 0.3 8 50] Roots(K)

运行程序，输出如下 ans =

-20.7512 +23.4531i -20.7512 -23.4531i -8.4977

可以看出，3个根负实部，都是稳定根，所以开环特征方程根的不稳定。再绘制系统的开环Nyquist 曲线并用来判断闭环系统的稳定性。 其实现的方程如下： >>clear all >> N=100;

>> D=[0.006 0.3 8 50] >> Gh=tf(N,D) >> Nyquist(Gh)

运行程序后，绘制出系统的开环Nyquist 曲线如图9：

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图9 系统奈氏曲线

由图9可知，系统的Nyquist 曲线不包围(-1,0)点，根据奈氏判据，其闭环系统是稳定的。

6.3波德图（Bode）

对数坐标图又称为波德图（Bode），由于方便实用，被广泛的应用于控制系统频域分析时的作图。Bode 图即对数频率特性曲线，他有两条曲线，分别是对 幅频特性与对数相频特性。对数频率稳定判据根据开环系统的对数频率特性曲 线判断闭环系统的稳定性。它可以表示为：一个反馈控制系统，其闭环特征方程 正实数根个数为Z，可以根据开环传递函数右半s 平面极点数P 和开环对数幅频特性为正值得所有频率范围内，对数相频曲线为负一百八十度，线的正负穿越之差为N 来确定。其中，Z=P-2N 当Z 为零时，闭环系统稳定，否则不稳定且不稳定闭环极点个数等于Z。还可以从波德图中的系统的幅值裕量和相角裕量来判定系统的稳定性。

波德图上的等价判据，只适用于最小相位系统，也可以导出波德图上的等价判据，但有多种情况存在，也就没有应用的价值了，所以本设计讨论的是最小相位系统。这既然提到了最小相位系统与非最小相位系统，就有必要说明一下他们

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的区别；即最小相位系统的零点和极点全部位于S 平面的左半平面。 MATLAB 提供了一条直接求解和绘制系统的Bode 图的函数bode()和一条直接 求解系统的幅值稳定裕度和幅值稳定裕度的函数margin(),它们的调用格式分别为： bode(sys)；Bode(sys,w)；[mag,phase,w]=bode(sys)；Bode()函数用计算来计算并绘制系统的Bode 图，当函数命令等式左边的输出变量的格式时，函数在当前窗口直接绘制出系统的bode 图。而[mag,phase,w]=bode(sys)只计算系统bode 图的输出数据，而不绘制曲线。 Margin(sys)

[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys)

[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(mag,phase,w)

其中，mag,phase,w 分别为bode 图求出的幅值裕度、相位裕度及对应的角频率 下面通过例子来说明bode 图的判定方法。

例7：已知一个单位负反馈的开环传递函数为G(s)=8/(s^3 + 6s ^2 + 4s) ,用

bode 图法判断系统闭环的稳定性。 解：对系统执行以下程序： >>clear all; >> num=[0 0 0 8]; >> den=[1 6 4 0]; >> S=tf(num,den);

>> [Gm,Pm Wcp Wcg]=margin(S) >> Margin(S)

在MATLAB 中运行程序后，得到系统的bode 图如图10：

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图10系统波德曲线图

同时MATLAB 计算出了频域性能指标： GM=3.0000dB Pm= 22.5835deg Wcp= 2.0000rad/sec; Wcg= 1.1095rad/sec,

即幅值稳定裕度为3.0dB,相裕稳定裕度为22.6度，剪切频率为1.1095rad/s。 由这些指标可以看出幅值稳定裕度是定量值，从而说明该系统是稳定的。并且具有较大的稳定裕度。

例8：系统的开环传递函数为G(s)=8/s 2 (5s +7) ,用对数频率稳定判据判断系

统的稳定性。

解：要得到系统的波德图，其程序为： num=[8]; den=[5 7 0 0]; sys=tf(num,den); bode(sys); grid

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