基于MATLAB的控制系统稳定性分析(3)

3 MATLAB基础介绍

MATLAB软件广泛的应用于系统建模与仿真、自动控制、图形图像处理等工程领域。因此，本章将简要的介绍一些有关MATLAB的发展背景以及特点。

3.1MALTAB概述

MATLAB是由MathWorks公司开发的一套功能强大的数学软件，也是当今科技界应用最广泛的计算机语言之一。它集数值计算、符号运算、计算机可视为一体，是其他许多语言不能比拟的。

MATLAB 发展至今，现已集成了许多工具箱，如控制系统工具箱、信号处理工具箱、模糊推理系统工具箱、Simulink 工具箱等。为此，MATLAB 语言在控制工程领域已获得了广泛的应用。

3.2MATLAB的特点

它具有强大的科学计算功能，能够很快速很准确计算出各种问题，在科学界领域中占有重要的地位，更是为一群科学研究人员提供了巨大的方便。与此同时MATLAB是一种先进的可视化工具，具有很强的开放性以及扩展性，众多面向领域应用的工具箱和模块集。

简单的来说，MATLAB语言最大的特点就是简单和直接。一方面，由于它允许使用数学形式的语言编写程序，而且编写简单。由此可见，它的编程效率高，通俗易懂；另一方面MATLAB的绘图也是十分方便的，它有一系列的绘图函数，例如：本设计将在下文讲述到的step函数、impluse函数、pzmap函数等等。只需输入相应的函数及一些简单的代码即可获得所需要的图像曲线，并能很清楚的分析系统的稳定性。

MATLAB也有一定的缺点，它和其他的高级程序相比，程序的执行速度比较缓慢。在界面功能上面也显得比较弱，不能实现数据采集和端口操作等功能。

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4稳定性分析的方法介绍

4.1时域分析法

4.1.1时域分析法的概念

时域分析法是在时间域内研究控制系统的性能的方法。它是直接基于拉普拉斯变换求解系统的微分方程系统的响应时间，然后基于响应和响应曲线，分析系统的动态响应性能和稳态性能的表达。 4.1.2控制系统的性能指标

首先，系统性能可以分为动态性能和稳态性能。系统的动态性能表现在过渡过程完结之前的响应中，系统的稳态性能表现在过渡过程完结之后的响应中。 其次，一般的动态性能指标定义为以下几种：

1. 上升时间：假如阶跃响应不超过稳态值，上升时间定义为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。

2. 峰值时间：阶跃响应从运动开始到达第一个峰值的时间。

3. 超调量：线性控系统在阶跃信号输入下的响应过程曲线也就是阶跃响应曲线分析动态性能的一个指标值。

4. 调节时间：阶跃响应达到稳态值的时间。一般取误差带为±2%或者±5%。 5. 稳态误差：当时间t趋于无穷时，系统希望的输出与实际的输出之差。 4.1.3典型的输入信号

控制系统中常用的典型输入信号有:单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加速度函数、单位脉冲函数和正弦函数。这些函数都是简单的时间函数，很便于数学分析，和实验研究。

例1：已知一控制系统的传递函数为G(s)=(10s+5)/(6s^2+7s+20)绘制其单位阶跃响应曲线并分析系统的稳定性。 解：利用MATLAB软件输入以下程序 >> G=tf([10,5],[6,7,20]); >> Step(G)

>> title('单位阶跃响应')

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>> grid

即可得到下面的图像如图3：

图3 单位阶跃响应

由图3可知，在系统在及其短暂的时间内（t=0.9s）到达了最大值，由此可以看出该系统具有很好的传递性以及快速性，但是系统具有很大的超调量，t在0s到7s期间，曲线的波动很大，系统的稳定性欠佳。但是随着时间的推移，曲线波动不大趋于稳定并收敛。这个系统的稳态误差为0.75. 4.1.4系统时域分析函数-Step函数

Step函数用于计算线性系统系统的单位阶跃响应，当不带输入变量时，step函数可在当前窗口直接绘制出系统的单位冲激响应曲线。

例2：已知一控制系统的传递函数为：G(s)=(10s+5)/(2s^2+s+9),求其阶跃并分析系统的性能。

解：利用MATLAB软件输入以下程序 >> clear

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>> G=tf([10,5],[2,2,9]); >> step(G)

>> title('阶跃响应效果图') >> grid

即可得到以下图像

图4阶跃响应效果图

由图4可知，系统在极短的时间内（t=1.1s）达到了最大值，在接下来1s左右系统达到了最小值。曲线在t=（0s~9s）之间波动很大，此时系统的稳定性比较差。在随后的时间里，曲线趋于直线，对应的系统也逐步趋于稳定。系统的稳态误差为0.4。

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4.1.5控制系统的时域分析-impulse函数

它的主要功能是：用于求取连续系统单位脉冲响应的函数。 它的调用格式如下：

impulse(sys)：求取系统sys的单位脉冲响应曲线。

impulse(sys,t)：求取系统sys的单位脉冲响应曲线，t为选定的仿真时间向量。

说明：sys描述的系统是系统的单位脉冲响应，也可适用于SISO或MIMO的连续时间系统或离散时间系统。

例3：已知控制系统的状态空间方程为：

试绘制其系统的单位脉冲响应效果图。

其实现的MATLAB的代码如下 >>clc

>> a=[-0.5 -0.7;0.7 0]; >> b=[1 -1;0 2]; >> c=[1.9 6]; >>sys=ss(a,b,c,0); >> impulse(sys) >> grid on;

>> title('单位脉冲响应效果图'); >> xlabel('时间/s');ylabel('幅度'); 运行程序。效果如下图：

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