基于MATLAB的控制系统稳定性分析(4)

图5 单位脉冲响应效果图

由图5可知系统在t=15s之前曲线波动比较大，说明这个系统在这段时间里不稳定；在随后的时间曲线趋于直线并收敛，此时说明系统逐步趋于稳定。

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5根轨迹分析法

5.1根轨迹分析法的概念

根轨迹分析法是分析和设计线性定常控制系统的图解法，其利用开环控制系统的根轨迹效果图来分析系统参数变化对闭环系统性能的影响。1984年，W.R.Evans提出了一种求特征根的简单方法，并且在控制系统的分析和设计中得到广发的应用。根轨迹法具有很直观的特点，还可以分析参数变化对系统性能的影响。

5.1.1一般控制系统

一般系统结构图如图6： R(s) G(s) C(s) + -

H(s)

图6 一般系统根轨迹示意图

开环传递函数为 Go(s)=G(s)H(s) 闭环传递函数为

Gc(s)=C(s)/R(s)=G(s)/(1+G(s)H(s))=G(s)/(1+Go(s))

5.2绘制控制系统的根轨迹图的一般规则

① 根轨迹的分支数等于开环传递函数极点的个数。

② 根轨迹的始点（相应于K=0）为开环传递函数的极点，根轨迹的终点（相应于K=∞）为开环传递函数的有穷零点或无穷远零点。

③ 根轨迹形状对称于坐标系的横轴（实轴）。

④ 实轴上的根轨迹按下述方法确定：将开环传递函数的位于实轴上的极点和零点由右至左顺序编号，由奇数点至偶数点间的线段为根轨迹。

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⑤ 实轴上两个开环极点或两个开环零点间的根轨迹段上，至少存在一个分离点或会合点，根轨迹将在这些点产生分岔。

⑥ 在无穷远处根轨迹的走向可通过画出其渐近线来决定。渐近线的条数等于开环传递函数的极点数与零点数之差。

⑦ 根轨迹沿始点的走向由出射角决定，根轨迹到达终点的走向由入射角决定。

⑧ 根轨迹与虚轴（纵轴）的交点对分析系统的稳定性很重要，其位置和相应的K值可利用代数稳定判据来

5.3pzmap函数

Pzmap函数的调用格式如下：

Pzmap(sys):对SISO系统，sys为绘制的传输函数的零极点图。

Pzmap(sys1,sys2,?,sysN):对MIMO系统，sys1,sys2,?,sysN为绘制的N个传输函数的零极点图。

Pzmap函数可在当前图像窗口中绘制系统的零极点图，其中极点用“X”表示，零点用“O”表示。

例4：已知闭环系统的传递函数为：

G(s)=(4s^4+3s^3+10s^2+8s+11)/(2s^5+6s^4+7s^3+3s^2+9s+1) 绘制零点极点图,判断系统的稳定性。

解：绘制零点极点图其实现的程序代码如下： >>clc

>> num=[4 3 10 8 11]; >> den=[2 6 7 3 9 1]; >> sys=tf(num,den); >> pzmap(sys)

执行程序，运行结果如下：

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图7 系统零极点分布图

由图7可知，该系统有位于s右半平面的极点，所以系统不稳定。下面本设计将用rlocus函数来判定系统的稳定性。

5.4rlocus函数

Rlocus函数可以计算出或画出SISO系统的根轨迹，rlocus(sys):根据SISO开环系统sys模型，直接在屏幕上绘制出系统的根轨迹图，开环增益的值从零到无穷大变化。

它的调用格式一般如下：

Rlocus:在当前窗口绘制SISO开环模型的Evans根轨迹。

Rlocus(sys)：根据SISO开环系统sys模型，直接在屏幕上绘制出系统的根轨迹图。开环增益的值从零到无穷大变化。

Rlocus(sys1,sys2,…)：同时在屏幕上绘制出多个系统的根轨迹图。 例5：已知反馈控制系统的开环传递函数为G(s)= 3K/(s(s^2+4s+6))试绘制系统的根轨迹图。

解：其实现的MATLAB代码如下： >> num=[3];

>> den=conv([1 0],[1 4 6 ]);

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>> G=tf(num,den); >> rlocus(G) >> grid on

>> title('根轨迹图')

>> xlabel('实坐标轴');ylabel('虚坐标轴') 运行程序，效果图如下：

图8 系统根轨迹分布图

由图5.3可知当K=1时，在平面的右边系统无极点。此时系统稳定。为了更好的确定K值范围来确定系统的稳定性，本设计利用劳斯判据来处理相关问题。

对已知开环系统方程作出闭环系统方程,G(s)=3K/(s^3+4s^2+6s+3K), 首先作出劳斯表如下： s^3 1 6 s^2 4 3K s^1 (6-0.75K) 0 s^0 3K

由系统稳定的充分条件必要条件为：劳斯表中，如果第一列元素全部大于0，则系统是稳定的；否则系统是不稳定的。因此可以得出上述系统方程要使系统稳定，则3K﹥0；（6-0.75K）﹥0；解得：当0﹤K﹤8时系统处理稳定状态；当K=0或者8时系统处于临界稳定状态；当K﹥8或者K﹤0时系统处于不稳定状态。

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