备战2013年历届高考数学真题汇编专题14 复数 理(2000-2006)(6)

23233于是

z??4

z??z?z?z?z??z|z?|2?i由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ| 故△OPQ为等腰直角三角形.

2）由z1=1+mi（m＞0），z21=z2得z2=（1－m2）+2mi

∴ω=－（1+m2）+2mi tanθ=－

2m1?m2??2

m?1m由m＞0，知m+

1m≥2，于是－1≤tanθ≤0

又 －（m2+1）＜0，2m＞0，得

34π≤θ＜π

因此所求θ的取值范围为［

34π，π）.

38.解：（Ⅰ）设z=a+bi，a、b∈R，b≠0 则w=a+bi+

1aa?bi?(a?a2?b2)?(b?ba2?b2)i

因为w是实数，b≠0，所以a2

＋b2

=1， 即|z|=1.

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（

于是w=2a，－1＜w=2a＜2，－

12＜a＜1，

所以z的实部的取值范围是（－

12，1）.

（Ⅱ）u?1?z1?z?1?a?bi1?a?bi?1?a?b?2bi(1?a)?b2222?ba?1i.

因为a∈（－

12，1），b≠0，所以u为纯虚数.

39.解：由|z1＋z2|=1，得（z1+z2）（z1?z2）=1，又|z1|=|z2|=1，故可得z1z2+z1z2=－1，所以z1z2的实部=z1z2的实部=－

1212.又|z1z2|=1，故z1z2的虚部为±

32，

z1z2=－

12±

3212?i，z2=z1(?3212?12?3232i).

于是z1+z1(?i)?32?i，

所以z1=1，z2=?i或z1=?12?32i，z2=1.

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?z1?1?13i??z1???所以?，或22 ?13i?z2????z?1?22?240.解法一：z2+z=（cosθ+isinθ）2+cosθ+isinθ=cos2θ+isin2θ+cosθ+isinθ =2cos

32θcos

?2+i·2sin

3?2cos

?2=2cos

?2（cos

32θ+isin

32θ）

=－2cos

?2［cos（π+

32θ）+isin（π+

32θ）］

∵θ∈（π，2π），∴

?2∈（

?2，π），∴－2cos

?2＞0

∴复数z+z的模为－2cos

2

?2，辐角为2kπ+π+

32θ（k∈Z）

解法二：设Z1、Ｚ3对应的复数分别是z1、z3，根据复数加法和乘法的几何意义，依题意得

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?z1?z3?z2 ??z3?z1?iz2∴z1＝

12z2（1－i）＝

12（1－3i）（1－i）＝

1?21?3?3?121?2i

z3＝z2－z1＝（1＋3i）－（

1?23?3?12i）＝

32?3i

42.解：（Ⅰ）由z=1+i，有w=（1+i）2＋3（1－i）－4=－1－i，所以w的三角形式是

2（cos

54??isin54?）

43.解：因为w为复数，argw＝?，所以设w=r（cos?＋isin?），

444333则

(w)?4w?1r(?22?1r(cos2234??isin234?)[r(cos2232??isin2322?)?4]，

2?i)(ri?4)?2r(1?i)(4?ri)?2r[4?r?(4?r)i]?R,22从而4－r2＝0，得r=2.

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)＝－2＋2i．

用心 爱心 专心 - 30 -

因此w＝2（cos

34??isin34?