备战2013年历届高考数学真题汇编专题14 复数 理(2000-2006)(5)

30.解：由0＜θ＜

?2得tanθ＞0．

由z＝3cosθ＋i·2sinθ，得0＜argz＜

?2及tan（argz）＝

2sin?3cos??23tanθ

tan??故tany＝tan（θ－argz）＝

23tan??213tan??2tan?1?23

tan?∵

3tan?＋2tanθ≥26

∴

13tan??2tan?≤

612

当且仅当

3tan?62＝2tanθ（0＜θ＜

?2）时，

即tanθ＝时，上式取等号.

用心 爱心 专心 - 21 -

所以当θ＝arctan

62时，函数tany取最大值

612

由y＝θ－argz得y∈（???22,）．

由于在（???22,）内正切函数是递增函数，函数y也取最大值arctan

612．

评述：本题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力.明考复数实为三角.语言简练、情景新颖，对提高考生的数学素质要求是今后的命题方向.

∴复数z（1－ci）的辐角主值在［0，

?2) 2?2c2?2c范围内，有arg［z（1－ci）］＝arctan＝arctan（

21?c－1），

∵0＜c≤1，∴0≤

21?c－1＜1，

有0≤arctan（

21?c－1）＜

?4，

用心 爱心 专心 - 22 -

∴0≤arg［z（1－ci）］＜

?4．

32.解：设z=a+bi（a，b∈R），则z=a－bi，代入4z+2z=33+i

得4（a+bi）+2（a－bi）=33+i.

?3a???2.∴z=3?1i. ∴?22?b?1??2|z－ω|=|

32?122i－（sinθ－icosθ）| 12=(32?sin?)?(?cos?)?2?3sin??cos??2?2sin(???6)

∵－1≤sin（θ－

?6）≤1，∴0≤2－2sin（θ－

?6）≤4.

∴0≤|z－ω|≤2.

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评述：本题考查了复数、共轭复数的概念，两复数相等的充要条件、复数的模、复数模的取值范围等基础知识以及综合运用知识的能力.

34.解：由（z－2）i=1+i得z=

1?ii+2=3－i

∴z′=z［cos（－

?4）+isin（－

?4）］=（3－i）（

22?22i）=2－22i

z′+2i=2－2i=2（

22?22i）=2（cos

74π+isin

74π）

∴arg（z1+2i）=74π

评述：本题考查复数乘法的几何意义和复数辐角主值的概念. 35.解法一：zw+zw3=zw（1+w2）=（

12?32i）（22?22i）（1+i） =

21313)?2(?3?12（1+i）2

（

2?2i）=

22?2i(2?2i22i)

?2(cos5?6?isin5?6)

故复数zw+zw3的模为2，辐角主值为

5?6.

解法二：w=

22?22i=cos

?4+isin

?4

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zw+zw3=z（w+w3）=z［（cos

?4+isin

?4）+（cos

?4+isin

?4?）］

3

=z［（cos

?+isin

?）+（cos

3?+isin

3?）］=z（

22i?2?2i）

44442222=(132?2i)?2i?2(?312?2i)?2(cos56??isin5?6)

故复数zw+zw3

的模为2，辐角主值为

56π.

评述：本题主要考查复数的有关概念及复数的基本运算能力.

又因为|OP|=|z?|=1，|OQ|=|z2ω3|=|z|2|ω|3=1 ∴|OP|=|OQ|.

由此知△OPQ为等腰直角三角形. 证法二：∵z=cos（－?6）+isin（－

?6）.

∴z3

=－i 又ω=

2?2?22i?cos?4?isin4.

∴ω4=－1

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