备战2013年历届高考数学真题汇编专题14 复数 理(2000-2006)(4)

21.答案：2+i 解析：由已知z?4?3i4?3i)(1?2i)?6?(3?8)i1?2i?(1?4?45?2?i，

故z=2+i.

22.解法一：设z＝a＋bi（a，b∈R），则（1＋3i）z＝a－3b＋（3a＋b）i．由题意，得a＝3b≠0． ∵|ω|＝|z2?i|?52，

∴|z|＝a2?b2?510．

将a＝3b代入，解得a＝±15，b＝±15． 故ω＝±

15?5i2?i＝±（7－i）．

解法二：由题意，设（1＋3i）z＝ki，k≠0且k∈R， 则ω＝

ki(k?i)(1?3i)．

∵|ω|＝52，∴k＝±50．

故ω＝±（7－i）． 23.解：∵z＝1＋i，

∴az＋2bz＝（a＋2b）＋（a－2b）i，

用心 爱心 专心

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（a＋2z）＝（a＋2）－4＋4（a＋2）i＝（a＋4a）＋4（a＋2）i， 因为a，b都是实数，所以由az＋2bz＝（a＋2z）2得

222

?a?2b?a?4a, ??a?2b?4(a?2).两式相加，整理得a2＋6a＋8＝0， 解得a1＝－2，a2＝－4， 对应得b1＝－1，b2＝2．

所以，所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2．

2

（Ⅱ）z7＝1，z＝cosα＋isinα

∴z7＝cos7α＋isin7α＝1，7α＝2kπ

z＋z2＋z4＝－1－z3－z5－z6

＝－1－［cos（2kπ－4α）＋isin（2kπ－4α）＋cos（2kπ－2α）＋isin（2kπ－ 2α）＋cos（2kπ－α）＋isin（2kπ－α）］

＝－1－（cos4α－isin4α＋cos2α－isin2α＋cosα－isinα） ∴2（cosα＋cos2α＋cos4α）＝－1， cosα＋cos2α＋cos4α＝－

12

解法二：z2·z5＝1，z2＝

1z5?z?5

同理z3＝z?4，z＝z?6

用心 爱心 专心

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∴z＋z2＋z4＝－1－z?4－z?2－z ∴z＋z＋z?2＋z＋z?4＋z＝－1 ∴cos2α＋cosα＋cos4α＝?12

解法二：|z|＝1可看成z为半径为1，圆心为（0，0）的圆.

而z1可看成在坐标系中的点（2，－2）

∴|z－z1|的最大值可以看成点（2，－2）到圆上的点距离最大.由图12—2可知：|z－z1|max

＝2

2＋1

26.（Ⅰ）解：∵α是方程x2－2x＋1＝0的根

∴α1＝

2222（1＋i）或α2＝

2221

（1－i）

当α1＝（1＋i）时，∵α＝i，α

2n－11＝

(?1)2n?1?in?1

∴M?1?1?i12222?{,,,}?{(1?i),?(1?i),?(1?i),(1?i)} ?1?1?1?12222i用心 爱心 专心 - 18 -

当α22＝

22（1－i）时，∵α

2＝－i ∴M?i?2?{?,?1,i,1}?M?1

2?2?2?2∴M2α＝{2(1?i),?22(1?i),?22(1?i),22(1?i)｝

28.解：设z＝x＋yi（x、y∈R），

∵|z|＝5，∴x2

＋y2

＝25，

而（3＋4i）z＝（3＋4i）（x＋yi）＝（3x－4y）＋（4x＋3y）i， 又∵（3＋4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上， ∴3x－4y＋4x＋3y＝0，得y＝7x ∴x＝±

22，y＝±

722

即z＝±（

222＋

72i）；2z＝±（1＋7i）．

用心 爱心 专心

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当2z＝1＋7i时，有|1＋7i－m|＝52，

即（1－m）2＋72＝50， 得m=0，m=2. 当

2z＝－（1＋7i）时，同理可得m＝0，m＝－2．

解：

∵该直线上的任一点P（x，y），其经变换后得到的点Q（x＋3y，3x－y）仍在该直线上，

∴3x－y＝k（x＋3y）＋b， 即－（3k＋1）y＝（k－3）x＋b，

用心 爱心 专心 - 20 -