2018年浙江省高考数学试题有解析答案(6)

21．（15分）（2018?浙江）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上． （Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； （Ⅱ）若P是半椭圆x2+

=1（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．

【考点】KN：直线与抛物线的位置关系；KL：直线与椭圆的位置关系．

【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）设P（m，n），A（

，y1），B（

，y2），运用中点坐标公式

可得M的坐标，再由中点坐标公式和点在抛物线上，代入化简整理可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2ny+8m﹣n2=0的两根，由韦达定理即可得到结论； （Ⅱ）由题意可得m2+

=1，﹣1≤m＜0，﹣2＜n＜2，可得△PAB面积为S=

|PM|?|y1﹣y2|，再由配方和换元法，可得面积S关于新元的三次函数，运用单调性可得所求范围．

【解答】解：（Ⅰ）证明：可设P（m，n），A（

，y1），B（

，y2），

AB中点为M的坐标为（，），

抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上，

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可得（

）2=4?

，

（

）2=4?

，

化简可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2ny+8m﹣n2=0的两根， 可得y1+y2=2n，y1y2=8m﹣n2， 可得n=

，

则PM垂直于y轴； （Ⅱ）若P是半椭圆x2+可得m2+

=1（x＜0）上的动点，

=1，﹣1≤m＜0，﹣2＜n＜2，

由（Ⅰ）可得y1+y2=2n，y1y2=8m﹣n2，

由PM垂直于y轴，可得△PAB面积为S=|PM|?|y1﹣y2| =（=[=

﹣m）?

?（4n2﹣16m+2n2）﹣m]?（n2﹣4m）

=，

；

，

可令t==

可得m=﹣时，t取得最大值m=﹣1时，t取得最小值2， 即2≤t≤则S=

， t3在2≤t≤

递增，可得S∈[6，]，

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△PAB面积的取值范围为[6，]．

【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查转化思想和运算能力，以及换元法和三次函数的单调性，属于难题．

22．（15分）（2018?浙江）已知函数f（x）=

﹣lnx．

（Ⅰ）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2；

（Ⅱ）若a≤3﹣4ln2，证明：对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．

【考点】6E：利用导数研究函数的最值．

【专题】14 ：证明题；35 ：转化思想；49 ：综合法；53 ：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）推导出x＞0，f′（x）=处导数相等，得到

+

﹣，由f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）

=

=≥

﹣ln

，

=，由基本不等式得：

从而x1x2＞256，由题意得f（x1）+f（x2）=（x1x2），设g（x）=（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2．

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，则，利用导数性质能证明f

（Ⅱ）令m=e

﹣（|a|+k）

，n=（

）2+1，则f（m）﹣km﹣a＞|a|+k﹣k﹣a≥0，

推导出存在x0∈（m，n），使f（x0）=kx0+a，对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点，由f（x）=kx+a，得k=

，设h

（x）=，则h′（x）==，利用导数性质能证明

a≤3﹣4ln2时，对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点． 【解答】证明：（Ⅰ）∵函数f（x）=∴x＞0，f′（x）=

﹣，

﹣lnx，

∵f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等， ∴

=

﹣

，

∵x1≠x2，∴

+=，

=

≥

，

由基本不等式得：∵x1≠x2，∴x1x2＞256， 由题意得f（x1）+f（x2）=设g（x）=∴列表讨论：

x g′（x） g（x） ，则

=，

﹣ln（x1x2），

（0，16） ﹣ ↓ 16 0 2﹣4ln2 （16，+∞） + ↑ ∴g（x）在[256，+∞）上单调递增， ∴g（x1x2）＞g（256）=8﹣8ln2， ∴f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2．

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（Ⅱ）令m=e

﹣（|a|+k）

，n=（

）2+1，

则f（m）﹣km﹣a＞|a|+k﹣k﹣a≥0， f（n）﹣kn﹣a＜n（

﹣﹣k）≤n（

﹣k）＜0，

∴存在x0∈（m，n），使f（x0）=kx0+a，

∴对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点， 由f（x）=kx+a，得k=

，

设h（x）=其中g（x）=

，则h′（x）=﹣lnx，

=，

由（1）知g（x）≥g（16），

又a≤3﹣4ln2，∴﹣g（x）﹣1+a≤﹣g（16）﹣1+a=﹣3+4ln2+a≤0， ∴h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减， ∴方程f（x）﹣kx﹣a=0至多有一个实根，

综上，a≤3﹣4ln2时，对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．

【点评】本题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．

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