2018年浙江省高考数学试题有解析答案(5)

即点B横坐标的绝对值最大． 故答案为：5．

【点评】本题考查椭圆的方程和应用，考查向量共线的坐标表示和方程思想、转化思想，以及二次函数的最值的求法，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（14分）（2018?浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=

，求cosβ的值．

【考点】GP：两角和与差的三角函数；G9：任意角的三角函数的定义．

【专题】33 ：函数思想；4R：转化法；56 ：三角函数的求值． 【分析】（Ⅰ）由已知条件即可求r，则sin（α+π）的值可得；

（Ⅱ）由已知条件即可求sinα，cosα，cos（α+β），再由cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα代值计算得答案．

【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）． ∴x=﹣，y=

，r=|OP|=

； ，r=|OP|=1， ，

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，

∴sin（α+π）=﹣sinα=（Ⅱ）由x=﹣，y=得

，

又由sin（α+β）=得则

，

=

，

cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=

，

或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=

．

∴cosβ的值为或．

【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，是中档题．

19．（15分）（2018?浙江）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=l，AB=BC=B1B=2． （Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；

（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．

【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直．

【专题】31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．

【分析】（I）利用勾股定理的逆定理证明AB1⊥A1B1，AB1⊥B1C1，从而可得AB1

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⊥平面A1B1C1；

（II）以AC的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB1的法向量，计算与

的夹角即可得出线面角的大小．

【解答】（I）证明：∵A1A⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC， ∴AA1∥BB1，

∵AA1=4，BB1=2，AB=2， ∴A1B1=又AB1=∴AB1⊥A1B1，

同理可得：AB1⊥B1C1， 又A1B1∩B1C1=B1， ∴AB1⊥平面A1B1C1．

（II）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A1C1于D， ∵AB=BC，∴OB⊥OC，

∵AB=BC=2，∠BAC=120°，∴OB=1，OA=OC=

，

=2

=2

，

，∴AA12=AB12+A1B12，

以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示： 则A（0，﹣∴

=（1，

，0），B（1，0，0），B1（1，0，2），C1（0，，0），

=（0，0，2），

=（0，2

，1）， ，

，1），

设平面ABB1的法向量为=（x，y，z），则∴∴cos＜

，令y=1可得=（﹣＞=

=

，1，0），

=

．

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设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ，则sinθ=|cos＜∴直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为

．

＞|=．

【点评】本题考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．

20．（15分）（2018?浙江）已知等比数列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1﹣bn）an}的前n项和为2n2+n．

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．

【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．

【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列．

【分析】（Ⅰ）运用等比数列的通项公式和等差数列中项性质，解方程可得公比q；

（Ⅱ）设cn=（bn+1﹣bn）an=（bn+1﹣bn）2n1，运用数列的递推式可得cn=4n﹣1，

﹣

再由数列的恒等式求得bn=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1），运用错位相减法，可得所求数列的通项公式．

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【解答】解：（Ⅰ）等比数列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，

可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4， 解得a4=8，

由+8+8q=28，可得q=2（舍去）， 则q的值为2；

（Ⅱ）设cn=（bn+1﹣bn）an=（bn+1﹣bn）2n﹣1， 可得n=1时，c1=2+1=3，

n≥2时，可得cn=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1， 上式对n=1也成立， 则（bn+1﹣bn）an=4n﹣1，

即有bn+1﹣bn=（4n﹣1）?（）n﹣1，

可得bn=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1） =1+3?（）0+7?（）1+…+（4n﹣5）?（）n﹣2， bn=+3?（）+7?（）2+…+（4n﹣5）?（）n﹣1，

相减可得bn=+4[（）+（）2+…+（）n﹣2]﹣（4n﹣5）?（）n﹣1

=+4?

﹣（4n﹣5）?（）n﹣1，

化简可得bn=15﹣（4n+3）?（）n﹣2．

【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查数列的恒等式和错位相减法的运用，考查运算能力，属于中档题．

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